§ 2. Постановка смешанных краевых задач для уравнения С. А. Чаплыгина

При формулировке основных смешанных краевых задач будем исходить из уравнения типа С. А. Чаплыгина (8.7):

которое охватывает как частные случаи уравнения (8.2) и (8.4а), где соответственно. Положим при этом, что удовлетворяет условиям

В полуплоскости уравнение (8.15) имеет вещественные характеристики, образующие два семейства кривых:

Таким образом, через каждую точку оси проходят две характеристики, которые, например, в случае уравнения (8.4а):

нечетное целое положительное число), сводятся к параболам Нейля степени

Приведем сначала перечень основных краевых задач, поставленных в настоящее время для уравнения (8.15). При этом, не желая загромождать здесь изложение большим числом деталей, мы лишь в дальнейшем (§§ 4 и 5) уточним те требования, которым следует подчинить граничные значения решений, чтобы обеспечить их существование и единственность. Пусть -односвязная область плоскости (х,у), разделенная на две части параболической линиейу уравнения (8.15). Положим при этом, что подобласть ограничена простой дугой Жордана которая расположена целиком в верхней полуплоскости и оканчивается в точках а контур гиперболической части состоит из двух характеристик принадлежащих к семействам (8.17а) и (8.176) соответственно (рис. 4). Условимся, далее, называть функцию регулярной в области если она ограничена и непрерывна в замкнутой области и имеет первые производные, непрерывные и ограниченные всюду в области и на ее границе,

Рис. 4.

за исключением, быть может, точек вблизи которых может обращаться в бесконечность, но так, чтобы порядок этой бесконечности был меньше некоторого числа Последнее ограничение, играющее важную роль в теоремах существования (см. § 5), будем называть условием Трикоми с показателем а (Трикоми при впервые изучал классы таких решений с показателями ). Первой корректно поставленной смешанной краевой задачей, т. е. задачей, где краевые данные задаются как на эллиптическом, так и на гиперболическом участке границы, была

Задача Трикоми (задача : найти регулярное в области решение уравнения (8.15), принимающее на дуге и на одной из характеристик, например на наперед заданные непрерывные значения:

При решении этой проблемы для уравнения (8.18) важную роль играет ее частный случай — нормальная задача Трикоми в которой представляет собой так называемый нормальный эллиптический контур определенный уравнением

Путем выбора смешанных областей более сложной конфигурации и надлежащего видоизменения граничных условий сформулированная основная краевая проблема получила следующие важные обобщения.

1. Задачи Геллерстедта. Рассмотрим уравнение (8.15) в некоторой конечной односвязной области контур которой образован следующими линиями: 1) кривой лежащей в полуплоскости и соединяющей точки ; 2) двумя характеристиками и уравнения (8.15), исходящими из некоторой точки оси двумя характеристиками и проведенными через точки соответственно (рис. 5).

При этом предполагается, что являются интегральными кривыми уравнений (8.17а) и (8.176)

соответственно. С. Геллерстедт [85] исследовал для такой области две краевые задачи:

Задача В области необходимо определить решение уравнения (8.15) по его граничным значениям на линии и двух дугах характеристик (рис. 5):

Задача В области разыскивается решение уравнения (8.15) с краевыми данными

где

Заметим, что обе задачи сводятся к задаче Трикоми, когда точка В совпадает с Наряду с задачами и где в гиперболической полуплоскости граничные условия задаются на дугах или принадлежащих двум разным семействам характеристик (8.17а) и (8.176), М. Проттер [97] рассматривал случай, когда при краевые данные несут характеристики (или одного и того же семейства (8.17а) (или (8.176)), а также более общий случай, когда точка В находится ниже оси

Рис. 5.

2. Задачи Франкля — Моравец. Исследуя перечисленные выше трансзвуковые проблемы (истечение сверхзвуковой струи из сосуда с плоскими стенками, течение в сопле Лаваля с переходом через скорость звука, обтекание крылового профиля звуковым потоком газа), Ф. И. Франкль пришел к важным обобщениям задач Трикоми и Геллерстедта. Для формулировки этих обобщений заменим характеристики и несущие

граничные значения в задачах некоторыми кривыми (рис. 6 и 7), полагая, что они обладают следующими свойствами:

1) линии , и <за пересекают каждую характеристику семейства (8.176) и (8.17а) соответственно не более одного раза;

2) расположены целиком внутри характеристических треугольников (рис. 6) и (рис. 7), причем

Рис. 6.

Рис. 7.

3) наклоны линий и к оси не должны превосходить наклона характеристик (8.17), проходящих через соответствующую точку этих линий, т. е.

При этих предпосылках рассматривались [65], [90]:

а) Задача Франкля (задача в которой функция строится в области изображенной на рис. 6, по ее краевым данным:

б) Задача Франкля-Моравец, где решение уравнения (8.15) подлежит определению в области с границей (рис. 7) при условии, что на

линии принимает наперед заданные значения:

Ясно, что проблемы (8.25) и (8.26) содержат в себе как частный случай задачи (8.19) и (8.22) соответственно, к которым они приводятся, когда

3. Смешанные краевые задачи, аналогичные эллиптической проблеме Неймана. Все перечисленные выше задачи, где на контуре рассмотренных областей задавались значения искомой функции, соответствуют классической проблеме Дирихле. Исследуя обтекание клина сверхзвуковым потоком газа, Ф. И. Франкль показал [56], [58], что если перед клином образуется зона дозвуковых скоростей, то возникает новая краевая проблема (задача в которой на дугах (или ) известны значения интеграла уравнения (8.15), а на некоторой части эллиптической границы (рис. 6) имеет место линейное соотношение

где наперед заданные коэффициенты. К этим однородным граничным условиям для обеспечения единственности решения присоединяется дополнительно требование: где заданная константа.

Позже К. Моравец в связи с другими трансзвуковыми вопросами [92], [93] рассмотрела для области, изображенной на рис. 7, решение уравнения Чаплыгина при краевых условиях вида

Здесь заданная функция длины дуги причем отсчитывается от точки против часовой стрелки. Легко видеть, что эта задача является аналогом известной проблемы Неймана для уравнений эллиптического типа. Действительно, перейдя в к переменным

получим эллиптическую нормальную форму этого уравнения: этом (8276) преобразуется в краевое условие Неймана: на линии где внутренняя нормаль к образу кривой на плоскости Наряду с этим изучался также комбинированный случай [9], [79], когда на требуется выполнение равенства (8.276), а на заданные значения предписываются самой функции

4. «Ударные» задачи Франкля. Существенно отличаются от смешанных задач, рассмотренных выше, так называемые «ударные» трансзвуковые задачи Ф. И. Франкля.

Рис. 8.

Решение этих задач, поставленных Франклем в работах [67], [68], дает возможность получить обтекание крылового профиля дозвуковым потоком газа в случае, когда на профиле образуются местные сверхзвуковые зоны, оканчивающиеся прямыми или криволинейными скачками уплотнения. При этом существенно новый характер таких проблем обусловлен именно появлением ударных волн, замыкающих сверхзвуковые зоны.

Обозначим через (рис. 8, а) область, ограниченную отрезком оси гладкой кривой с концами в точках и характеристикой уравнения

(8.15), соединяющей точки и отрезком оси Тогда в обобщенной постановке первая «ударная» задача Франкля состоит в определении решения уравнения (8.15), непрерывного в замкнутой области и удовлетворяющего граничным условиям:

Здесь наперед заданные непрерывные функции.

Вторая «ударная» задача Франкля связана с областью образованной дугой (рис. 8, б), эллиптическим контуром имеющим одну общую точку с осью отрезком линии перехода где и характеристикой уравнения

Чаплыгина. При этом дуги и соответствуют передней (сверхзвуковой) и задней (дозвуковой) сторонам скачка уплотнения. На границах этой области задаются следующие краевые условия:

2) Пусть координаты отвечают векторам скорости в одной и той же точке скачка уплотнения на его передней и задней сторонах. Тогда на линии точки дуги и дуги поставлены в соответствие друг с другом посредством уравнения

причем в соответствующих друг другу точках должно иметь место соотношение

В случае прямолинейного скачка уплотнения, где дуга становится отрезком вертикальной

прямой, а равенство (8.30) переходит в условие таким образом, вторая ударная задача Франкля сводится к первой ударной задаче с нулевой краевой функцией