§ 8. Потенциалы

1. Определение. Функция

представляющая потенциал поля в точке созданного единичной массой (зарядом), находящейся в точке С), называется потенциалом (иногда ньютоновским потенциалом). Эта функция симметрична относительно точек Она удовлетворяет уравнению Лапласа всюду, кроме точки

2. Потенциал объемных масс. Потенциал объемных масс, распределенных в области с плотностью выражается интегралом

В области, не заполненной массами, т. е. вне области этот интеграл имеет производные всех порядков и удовлетворяет уравнению Лапласа. Ниже область считается конечной; в этом случае вне области интеграл (3.47) удовлетворяет неравенству (3.2).

Если точка лежит внутри области, то интеграл (3.47) является несобственным, но абсолютно сходящимся.

Если плотность непрерывна, то производные первого порядка существуют и могут быть вычислены дифференцированием под знаком интеграла:

и вычисляются аналогично.

Если плотность удовлетворяет в замкнутой области условию Липшица с положительным показателем а, то потенциал (3.47) имеет вторые производные, непрерывные в открытой области Если то в любой внутренней подобласти вторые производные удовлетворяют условию Липшица с тем же показателем а.

Вторые производные объемного потенциала можно вычислять по формулам

и им аналогичным. Расходящиеся интегралы в этих формулах следует понимать как сингулярные, т. е. в смысле их главного значения по Коцш [10].

Объемный потенциал (3.47) удовлетворяет внутри области уравнению Пуассона

3. Потенциал простого слоя. Потенциал простого слоя — это потенциал масс, распределенных с поверхностной плотностью по некоторой поверхности:

Мы будем предполагать, что 5 — замкнутая поверхность, разделяющая пространство на две области — внутреннюю и внешнюю. Мы предположим также, что поверхность есть поверхность Ляпунова, т. е. удовлетворяет известным условиям Ляпунова. 1) в каждой точке поверхности существует

определенная нормаль; 2) для каждой точки поверхности существует окрестность, которую прямая, параллельная нормали в этой точке, пересекает не более одного раза; 3) угол, образованный нормалями в двух точках и поверхности, не превосходит величины где расстояние между точками и — постоянные, причем интеграл

где нормаль к поверхности в точке ограничен.

Плотность потенциала простого слоя будем считать непрерывной на 5.

Если точка расположена вне поверхности, то потенциал простого слоя является непрерывной функцией, имеющей производные любых порядков, удовлетворяющей уравнению Лапласа и регулярной на бесконечности.

Если точка приближается к какой-либо точке поверхности то интеграл становится несобственным, но остается конечным и функция и остается непрерывной. Если в точке провести касательную плоскость и вычислить производные от и по любому направлению, лежащему в касательной плоскости, то эти производные будут непрерывны в окрестности и могут быть вычислены дифференцированием под знаком интеграла; полученные при таком дифференцировании интегралы следует трактовать как главные значения.

Производная по нормали оказывается разрывной в точке Обозначим через направление внешней нормали к 5 в точке и через угол между направлениями где точка взята на нормали Если точка не лежит на то производная вычисляется непосредственным дифференцированием под знаком интеграла, что дает

Пусть теперь Тогда стремится к различным пределам в зависимости от того, стремится изнутри

или извне поверхности Обозначая эти пределы соответственно значками имеем:

4. Потенциал двойного слоя. Назовем потенциалом диполя предел потенциала, создаваемого двумя зарядами противоположного знака — помещенными в точках находящихся на расстоянии друг от друга, при . В любой точке

где расстояния от точки до точек Раскрывая неопределенность, найдем:

Символ означает производную в направлении называемом осью диполя, угол между вектором и осью диполя.

Потенциалом двойного слоя называется интеграл

где поверхностная плотность распределения диполей вдоль поверхности причем оси диполей совпадают с направлением внешней нормали к поверхности. Будем считать, что поверхность ляпуновская, а плотность непрерывна на

Для точки лежащей вне поверхности интеграл представляет собой функцию, удовлетворяющую уравнению Лапласа и удовлетворяющую на бесконечности неравенству (3.2).

При переходе точки через поверхность по нормали к ней потенциал двойного слоя испытывает скачок:

Интеграл в формулах (3.50) несобственный и вычислен для случая, когда точка лежит на поверхности.

5. Потенциалы простого и двойного слоев в случае двух независимых переменных. Потенциал масс, распределенных вдоль линии с линейной плотностью равен

Его называют логарифмическим потенциалом простого слоя. Для всякой точки лежащей вне линии потенциал будет непрерывной функцией, удовлетворяющей двумерному уравнению Лапласа. На бесконечности функция (3.51) имеет логарифмическую особенность. Интеграл (3.51) остается непрерывным и в том случае, когда переходит через кривую если она является кривой Ляпунова.

Потенциал двойного слоя

также удовлетворяет уравнению Лапласа для точек лежащих вне кривой и удовлетворяет неравенству (3.2) на бесконечности.

Нормальная производная потенциала простого слоя терпит конечный скачок при переходе через кривую предельные значения этой производной вычисляются по формулам

при приближении точки соответственно с внутренней и внешней стороны.

Потенциал двойного слоя также терпит конечный скачок при переходе через кривую предельные значения потенциала двойного слоя вычисляются по формулам

6. Потенциал масс. Потенциал масс, распределенных в плоской области

удовлетворяет двумерному уравнению Лапласа вне области и уравнению Пуассона

в области занятой массами.

7. Применение потенциалов для сведёния краевых задач к интегральным уравнениям.

а) Внутренняя задача Дирихле для уравнения Лапласа. Предположим, что искомая функция есть потенциал двойного слоя с неизвестной поверхностной плотностью

Для того чтобы эта функция была решением задачи Дирихле, предельное значение и на поверхности должно равняться заданной граничной функции, которую мы обозначим через но на основании первой из формул (3.60)

Полученное уравнение есть интегральное уравнение Фредгольма второго рода.

Для внешней задачи Дирихле следует обратиться ко второй формуле (3.50), и мы получим:

б) Задача Неймана. Решение задачи Неймана разыскивается в виде потенциала простого слоя где искомая плотность. С помощью формул (3.49) получаем интегральное уравнение

где означает заданное значение нормальной производной.

Для внешней задачи Неймана получаем:

8. Потенциал уравнения

Объемным потенциалом уравнения (3.59) называют интеграл

где ограниченная функция, называемая объемной плотностью. Свойства объемного потенциала:

1) для точек лежащих вне области

2) для точек лежащих внутри области, интеграл является несобственным, но сходящимся и допускающим одно кратное дифференцирование под знаком интеграла;

3) во внутренних точках области справедливо соотношение

Потенциалом двойного слоя называют интеграл

где называют поверхностной плотностью. Свойства потенциала двойного слоя:

1) вне поверхности

2) в точках поверхности интеграл является несобственным, но сходится, если -поверхность Ляпунова;

3) потенциал в точках поверхности испытывает разрыв; пусть предельное значение функции при подходе к поверхности изнутри области предельное значение при подходе извне. Тогда

Потенциалом простого слоя называют интеграл

Свойства потенциала простого слоя:

1) вне поверхности

2) интеграл равномерно сходится на поверхности и остается непрерывным при переходе через эту поверхность;

3) нормальные производные разрывны при переходе через поверхность.

Для поверхностей Ляпунова имеют место равенства

где

Так же, как и для уравнений Лапласа, потенциалы позволяют краевые задачи для уравнения (3.59) сводить к интегральным уравнениям.