§ 2. Интегральные формулы

1. Формулы Грина. Первая формула Грина:

Вторая формула Грина:

Здесь обозначает внешнюю нормаль к поверхности

Формулы Грина верны при любом числе независимых переменных, если область конечная, ее граница 5 кусочно

гладкая, функции непрерывны вместе со своими первыми производными в замкнутой области а вторые производные этих функций непрерывны в открытой области

Если функции гармоничны в то формулы Грина принимают вид

Формулы (3.10) и (3.11) верны и для бесконечной области если функции них; удовлетворяют условию (3. 1).

При формула (3.10) переходит в так называемую формулу Дирихле

верную, если функция и гармонична в . В случае трехмерного пространства формула Дирихле имеет вид

2. Свойство нормальной производной гармонической функции. Если функция и гармонична в конечной области D, то

Эта формула получается из формулы (3. 10), если в последней положить

3. Фундаментальная формула. Пусть конечная трехмерная область, ограниченная кусочно гладкой поверхностью Пусть точка внутри через обозначим точку, которая может находиться как внутри, так и на границе области Через обозначим расстояние между точками и

через внешнюю нормаль к проведенную через точку

Пусть функция и непрерывна вместе со своими первыми производными в замкнутой области тогда как вторые производные этой функции непрерывны по крайней мере в открытой области Тогда имеет место формула

Если функция и гармонична в то

формула (3. 14) верна и для бесконечной области если только гармоническая функция и удовлетворяет условию (3.2).

В пространстве измерений, верны аналогичные формулы:

и, если функция и гармонична в

Здесь поверхность единичной сферы в -мерном пространстве (см. стр. 58).

Для плоского случая

Все поверхностные интегралы, входящие в правые части формул (3.13) — (3.17), допускают дифференцирование под знаком интеграла по координатам точки и являются гармоническими в области функциями этой точки.