§ 4. Смешанная задача для гиперболических уравнений, вырождающихся на части боковой границы области

1. Постановка задачи. Пусть в цилиндрической области дано гиперболическое уравнение

Будем предполагать, что конечная область расположена в полупространстве и примыкает частью своей границы к плоскости Остальную часть границы обозначим через Предполагаем, что граница такова, что для нее имеют место теоремы вложения Соболева. Предположим, что функции непрерывны в и для любой точки и любых чисел

а для точек

причем ранг последней квадратичной формы Будем предполагать, что для любых

а также

Пусть — многообразие всех непрерывных в функций, имеющих ограниченные кусочно непрерывные вторые производные по и вторые смешанные производные по и обращающихся в нуль в некоторой (своей для каждой функции) граничной полоске цилиндра исключая верхнее основание. Введем обозначение

Многообразие, составленное из элементов где обозначим через Введем в скалярное произведение по формуле

Пусть замыкание в метрике (7.51). Многообразие всех функций полученных в результате замыкания обозначим через 2,

Метрика (7.51) обеспечивает сохранение нулевых начальных условий, а при и нулевых граничных значений; при на нулевые граничные значения не сохраняются (см. [8]). Для а следовательно (в силу нулевых начальных условий), и для справедливо следующее: если выполнены неравенства (7,49), то

где не зависит достаточно гладкая функция, для и

Для уравнения (7.46) ставится смешанная задача: найти в цилиндре решение этого уравнения, удовлетворяющее при однородным начальным условиям

и принимающее на нулевые граничные значения; далее, на задаются нулевые граничные значения, а при от задания граничных значений функции освобождается.

Под обобщенным решением смешанной задачи будем понимать функцию , удовлетворяющую интегральному тождеству

для любой функции обращающейся в нуль и вблизи , для которой

2. Существование и единственность обобщенного решения. Теорема 4.1 [14]. Пусть: 1) функции непрерывны и имеют ограниченные третьи производные по причем

равномерно по

2) непрерывны вместе с первыми производными по

Пусть, далее, выполнены условия (7.49), (7.50) и, кроме того,

Тогда обобщенное решение смешанной задачи существует и единственно в классе функций и

Условия (7,55), (7.56) означают, что коэффициенты обращаются в нуль на и что, в частности, Для можно несколько ослабить требование на коэффициенты Так, например, в случае

3. Некоторые частные случаи вырождения. Рассмотрим случай, когда смешанная задача для уравнения (7.46) оказывается разрешимой и при несоблюдении условия (7.55). Пусть в прямоугольнике дано гиперболическое уравнение

где

Пусть — множество всех непрерывных в функций, имеющих ограниченные кусочно непрерывные вторые производные по и вторые смешанные производные по и обращающихся в нуль в граничной полоске прямоугольника (исключая верхнее основание). Введем на этом множестве скалярное произведение по формуле

Замыкание 2 в метрике (7.58) обозначим через 2. Метрика (7.58) обеспечивает сохранение нулевых начальных условий и

при -нулевых граничных условий. Из теоремы вложения для пространства функций с вырождающейся метрикой [8] имеем:

Отсюда, учитывая нулевое начальное значение получаем:

Из оценки (7.60) видно, что функции могут неограниченно расти при причем скорость их роста зависит от величины отношения Чем больше это отношение, тем более широкий класс функций оказывается допустимым.

Смешанная задача уравнения (7.57) ставится так: найти в решение уравнения (7.57), обращающееся в нуль при и принимающее при нулевые начальные значения На границе никаких к граничных условий не задается.

Теорема 4.2. Пусть функции непрерывны в и имеют ограниченные первые производные по причем и Пусть, суммируемы с квадратом с весом х а по обобщенное решение смешанной задача для уравнения (7.57) существует и единственно в классе функций и

Замечание. Если коэффициент при положителен и правая часть уравнения (7,57) такова, что суммируемы с квадратом с весом х а по то обобщенное решение смешанной задачи существует и единственно в классе функций, стремящихся к нулю при со скоростью, определяемой величиной В этом случае и на границе задаются нулевые граничные значения и