§ 2. Методы теории потенциала

1. Уравнение второго порядка. Фундаментальное решение и потенциалы [17]. Для уравнения (5.1) строится функция

Здесь площадь поверхности сферы единичного радиуса в -мерном пространстве (см. стр. 58), А — определитель матрицы

составленной из коэффициентов при вторых производных; элементы матрицы, обратной матрице (5.9). Функция (5.8) удовлетворяет уравнению

Функция называется функцией Леей для уравнения (5.1) в некоторой области если во всякой замкнутой подобласти равномерно выполняются равенства

где X — положительная постоянная. Очевидно, функция Н(х, у) сама является функцией Леви.

Функция Леви, удовлетворяющая однородному уравнению (5.1) при произвольно фиксированному называется фундаментальным решением этого уравнения.

Примеры. Для уравнения Лапласа в -мерном пространстве при фундаментальным решением является функция

при фундаментальное решение уравнения Лапласа имеет вид

Для уравнения Гельмгольца в -мерном пространстве фундаментальное решение имеет вид

где функции Бесселя соответственно первого и второго рода, а с — постоянная, значение которой легко вычислить, приняв во внимание вид главных членов функций

При помощи фундаментального решения уравнения (5.1) можно построить потенциалы, обобщающие известные ньютоновские потенциалы (см. гл. III). Пусть фундаментальное решение этого уравнения, некоторая область, в которой это решение определено; границу области обозначим через Объемным потенциалом с плотностью называется интеграл

потенциалом простого слоя с плотностью называется интеграл

наконец, потенциалом двойного слоя с плотностью называется интеграл

здесь для краткости обозначено

где внешняя нормаль к произвольная функция, заданная и непрерывная на

Потенциалы (5.11) — (5.13) обладают свойствами, аналогичными известным (см. гл. III) свойствам для ньютонова потенциала. Перечислим некоторые из них.

Если плотность объемного потенциала (5.11) удовлетворяет условию Липшица с показателем а, а разность удовлетворяет условиям

где расстояние от точки у до отрезка а постоянная а, то внутри области вторые производные потенциала (5.11) удовлетворяют условию Липшица с показателем а; эти производные выражаются формулами

в которых интегралы следует понимать как сингулярные, т. е. в смысле их главного значения по Коши. Из формулы (5.14) вытекает, что внутри

Формулы (5.14) и (5.15) верны в значительно более общем предположении, а именно, что где но в этом случае производные потенциала (5.11) следует понимать как обобщенные в смысле Соболева.

Пусть граница области удовлетворяет известным условиям Ляпунова (см. гл. III). Пусть точка и пусть I — ориентированная прямая, проходящая через эту точку. Если плотность потенциала простого слоя (5.12) удовлетворяет условию Липшица с положительным показателем а, то

Здесь означают пределы производной изнутри и извне соответственно, величина определяется

формулой

- нормаль к в точке

В общем случае интеграл в (5.16) — сингулярный; он оказывается интегралом со слабой особенностью в том частном случае, когда I есть направление конормали (так называется ось, направляющие косинусы которой пропорциональны величинам . В этом случае формула (5.16) верна, если плотность потенциала только непрерывна на

При некоторых дополнительных предположениях о коэффициентах дифференциального оператора (5.1) и о фундаментальном решении справедливы предельные формулы для потенциала двойного слоя (5.13):

Формула (5.18) во всяком случае верна, если плотность потенциала (5.13) непрерывна на Интеграл в (5.18) имеет слабую особенность.

2. Задачи Дирихле и Неймана [17]. Рассмотрим уравнение (5.1), предполагая, что его коэффициенты определены в некоторой конечной области ограниченной ляпуновской поверхностью Пусть коэффициенты удовлетворяют в замкнутой области условию Липшица с положительным показателем а. Всегда можно доопределить эти коэффициенты в дополнение к так, чтобы уравнение оставалось эллиптическим, определитель был ограничен снизу положительной постоянной, упомянутое выше условие Липшица выполнялось равномерно во всем пространстве. Допустим еще, что в области а форма

положительная. Можно так продолжить коэффициент чтобы он был всюду отрицательным и чтобы вне некоторой

сферы выполнялось неравенство где с — постоянная.

При перечисленных условиях можно построить так называемое главное фундаментальное решение однородного уравнения (5.1), т. е. фундаментальное решение, которое при достаточно больших удовлетворяет соотношениям

в которых а — некоторая положительная постоянная.

Задача Дирихле для уравнения (5.1) состоит в нахождении функции и (лет), которая в области удовлетворяет данному уравнению, а на границе условию

Решение ищем в виде

где упомянутое выше главное фундаментальное решение. Используя формулу (5.18), получаем интегральное уравнение со слабой особенностью для неизвестной плотности (область для определенности считаем конечной):

для которого верны теоремы Фредгольма. Если в то уравнение (5.21) имеет единственное решение, подстановка которого в формулу (5.20) дает единственное решение задачи Дирихле. Уравнение (5.21), а с ним и задача Дирихле разрешимы единственным образом и в том случае, когда С может принимать и положительные значения, но область имеет достаточно малую меру. В общем случае однородная задача Дирихле имеет конечное число линейно независимых решений, а неоднородная задача разрешима, если свободный член уравнения (5.21) удовлетворяет некоторым условиям ортогональности, взятым в том же числе,

Задаче Неймана для уравнения (5.1) соответствует краевое условие

что можно также представить в виде

где направление конормали и

Решение задачи Неймана ищем в виде

что в силу формулы (5.16) приводит к интегральному уравнению со слабой особенностью для неизвестной плотности (область опять для простоты считаем конечной):

Если и хотя бы одна из этих функций отлична от тождественного нуля, то уравнение (5.24), а с ним и задача Неймана имеют единственное решение. В общем случае, так же как и для задачи Дирихле, однородная задача Неймана имеет только конечное число линейно независимых решений, а соответствующая неоднородная задача Неймана разрешима, если свободный член уравнения (5.24) удовлетворяет некоторым условиям ортогональности, взятым в том же числе.

3. Задача о косой производной [17], [20], [21]. С этой задачей для уравнения (5.1) связано краевое условие

где направление дифференцирования X отлично, вообще говоря, от направления конормали; поверхность будем считать ляпуновской.

Решение задачи о косой производной будем искать в виде (5.23); это приводит к интегральному уравнению

Уравнение (5.26) сингулярное.

Если направление X нигде не касательно к поверхности то для уравнения (5.26) справедливы теоремы Фредгольма: однородная задача имеет только конечное число линейно независимых решений; соответствующая неоднородная задача разрешима тогда и только тогда, когда свободный член уравнения (5.26) удовлетворяет такому же числу условий ортогональности к решениям однородного сопряженного уравнения.

Если для задачи о косой производной верна теорема единственности, то уравнение (5.26) разрешимо, и притом единственным образом; это имеет место, если, например, область конечная, причем хотя бы одна из этих функций отлична от тождественного нуля.

Случай, когда в некоторых точках поверхности направление X касательно к этой поверхности, а число измерений пространства до настоящего времени полностью не исследован.

Остановимся на случае В этом случае уравнение (5.1) можно привести к каноническому виду

краевое условие (5.25) можно записать так:

где направление нормали и -направление касательной к контуру Как всегда, будем считать, что контур ляпуновский; допустим еще, что функции и непрерывны и Тогда индекс задачи (5.27), (5.28) равен

Для уравнения (5.27) изучена задача с краевым условием

Относящиеся сюда результаты см. в [4].

4. Полигармоническое уравнение [16]. Это уравнение имеет вид

Особенно важно бигармоническое уравнение

играющее большую роль в теории упругости, особенно в таких ее разделах, как плоская задача и изгиб тонких пластинок. Мы не останавливаемся здесь на использовании метода потенциалов для бигармонического уравнения, так как это должно быть подробно изложено в намечаемом к изданию справочнике по интегральным уравнениям.

Рассмотрим случай произвольного Пусть область, ограниченная извне достаточно гладкой поверхностью нормаль к в точке у. Функции

удовлетворяют в однородному полигармоническому уравнению

Рассмотрим функцию

Она удовлетворяет уравнению (5.32). Подчинив плотности некоторой системе интегральных уравнений со слабой особенностью, можно добиться того, чтобы функция (5.33) удовлетворяла краевым условиям

5. Системы эллиптических уравнений. Методы теории потенциала для эллиптических систем разработаны далеко не в полной

мере. Мы ограничимся здесь кратким изложением результатов Я. Б. Лопатинского [15].

Рассмотрим однородную систему уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами. Ее можно записать в виде

Здесь искомая -мерная вектор-функция, квадратная матрица порядка элементы которой суть полиномы относительно составляющих вектора а; матрица получается заменой а на вектор Будем предполагать, что элементы матрицы суть формы относительно одной и той же степени Требование эллиптичности системы (5.35) влечет за собой условие для вещественного не равного нулю вектора а. Дополнительно потребуем (при и 153 эти требования выполняются автоматически), чтобы произведение было четным и чтобы для всякого вещественного ненулевого вектора измерений корни уравнения относительно неизвестной были поровну распределены в верхней и нижней полуплоскостях.

Уравнение (5.35) будем рассматривать в полупространстве краевые условия зададим в виде

Здесь матрица, содержащая строк и столбцов; элементы строки этой матрицы суть формы одной и той же степени При некоторых условиях гладкости, наложенных на столбец (об этом подробнее см. [15]), задача (5.35), (5.36) разрешима, если выполнено следующее условие: ранг матрицы

равен В формуле (5.37) интегрирование совершается по положительно ориентированному контуру, лежащему в верхней полуплоскости и охватывающему все лежащие в этой полуплоскости корни уравнения В той же формуле (5.37) означает единичную матрицу порядка

Перейдем к более общим задачам. Пусть элементы матрицы суть полиномы одной и той же степени относительно и коэффициенты этих полиномов зависят от точки где некоторая область -мерного евклидова пространства. Будем считать, что упомянутые коэффициенты достаточное число раз непрерывно дифференцируемы (см. [9]) по координатам точки х. Представим матрицу А в виде суммы:

где элементы матрицы суть формы степени относительно

Пусть у — произвольная точка области произвольный n-мерный единичный вектор и -произвольный ненулевой вектор, ортогональный к вектору Примем, что корни уравнения

поровну распределены в верхней и нижней -полуплоскостях. Рассматривается система

при краевых условиях

матрица из строк и столбцов, причем наибольший порядок дифференцирования в В должен быть меньше

Пусть максимальный порядок дифференцирования, встречающийся в строке матрицы через обозначим матрицу, строка которой состоит из членов порядка соответствующей строки матрицы В.

Строятся некоторые потенциалы, удовлетворяющие уравнению (5.38); их подстановка в условие (5.39) приводит к системе интегральных уравнений относительно плотностей упомянутых потенциалов. Эта система будет фредгольмовской (точнее, ядра этой системы будут иметь слабую особенность), если данные задачи удовлетворяют определенным условиям гладкости, а ранг матрицы

равен В последнем интеграле единичная внешняя нормаль к интегрирование совершается по контуру, который, как и выше, расположен в верхней полуплоскости и охватывает все расположенные в этой полуплоскости корни уравнения.

6. Уравнения теории упругости [11], [20]. Метод, изложенный в п. 5, позволяет сводить краевую задачу весьма общего вида для эллиптических систем (также весьма общего вида) к системе интегральных уравнений фредгольмовского типа. Однако эта последняя система в общем случае не равносильна краевой задаче, и интерес представляют те случаи, в которых краевую задачу удается свести к эквивалентной системе интегральных уравнений. При этом нет необходимости требовать, чтобы система интегральных уравнений была фредгольмовской, важно только, чтобы она поддавалась исследованию.

Такого рода случай доставляют, например, основные краевые задачи для трехмерных статических уравнений теории упругости. В случае однородной изотропной среды эти уравнения записываются в векторной форме следующим образом:

Здесь вектор упругих смещений, — так называемые постоянные Ламе, вектор объемных сил. Система (5.40) — эллиптическая, если только величина (называемая постоянной Пуассона) отлична от и от 1. Эта система сильно эллиптична при и 1.

Для системы (5.40) обычно ставятся две основные задачи, определяемые краевыми условиями следующих типов: Задача I: на поверхности задан вектор смещений

Задача II: на поверхности задан вектор напряжений

где

направляющие косинусы внешней нормали к орты координатных осей.

Для векторного уравнения (5.40) известно фундаментальное решение. Это — матрица элементы которой определяются формулой

Каждый столбец удовлетворяет при однородному уравнению (5.40).

Для вектора удовлетворяющего обычным условиям гладкости, верна формула

где матрица, I-й столбец которой равен Интегралы

уместно назвать соответственно объемным потенциалом, потенциалом двойного слоя и потенциалом простого слоя. Для них верны теоремы, аналогичные обычным теоремам для ньютоновского потенциала. Так, если плотности удовлетворяют условию Липшица с положительным показателем, меньшим единицы, то: 1) объемный потенциал имеет внутри области вторые производные, удовлетворяющие условию Липшица с тем же показателем, при этом для потенциалов двойного и простого слоя верны предельные формулы

Знаки слева означают предельные значения изнутри и соответственно извне интегралы в последних формулах — сингулярные.

Как обычно, применение объемного потенциала позволяет свести уравнение (5.40) к однородному. Предполагая, что такое сведение выполнено, будем искать решение задачи I в виде потенциала двойного слоя, а решение задачи II — в виде потенциала простого слоя. В силу формул (5.45) и (5.46) это приводит к интегральным уравнениям:

соответствующим первой внутренней, первой внешней, второй внутренней и второй внешней задачам; уравнения (5.47) и (5.50), а также уравнения (5.48) и (5.49) сопряжены между собой.

Каждое из уравнений (5.47) — (5.50) на самом деле есть система трех сингулярных интегральных уравнений относительно составляющих неизвестных векторных плотностей. Символические определители этих систем равны между собой и равны что отлично от нуля при Можно доказать, что при (исключаются также значения при которых система (5.40) перестает быть эллиптической) для систем интегральных уравнений (5.46) — (5.50) верны теоремы Фредгольма.

При однородная задача I может иметь бесконечно много решений. Так, если есть полупространство то такими решениями являются векторы где любая гармоническая в упомянутом полупространстве функция, достаточно быстро убывающая на бесконечности.

Результаты настоящего пункта переносятся без сколько-нибудь существенных изменений на уравнения установившихся упругих колебаний.