3. Уравнение Лапласа в криволинейных координатах.

Если ввести криволинейные ортогональные координаты то оператор Лапласа преобразуется к следующему виду:

где

На плоскости

Коэффициенты называются коэффициентами Ламе.

Формула (3.3) очевидным образом распространяется на случай любого числа координат.

Приведем выражения оператора Лапласа в некоторых, наиболее употребительных, системах криволинейных координат.

Круговые цилиндрические координаты:

Связь с декартовыми координатами:

Оператор Лапласа:

Эллиптические цилиндрические координаты:

Связь с декартовыми координатами:

Оператор Лапласа:

Параболические цилиндрические координаты. Выражение декартовых координат через цилиндрические:

где изменяются от до

Оператор Лапласа:

Параболоидные координаты (параболические координаты вращения):

изменяются от до -Связь с декартовыми координатами:

Оператор Лапласа:

Биполярные координаты. Обозначим соответственно через расстояния от точки плоскости до точек ; пусть углы, образуемые векторами с положительным направлением оси х. За новые координаты примем

Связь с декартовыми координатами:

Оператор Лапласа:

Бисферические координаты:

Связь с декартовыми координатами:

Уравнение Лапласа имеет вид

Подстановка приводит предыдущее уравнение к виду

Тороидальные координаты:

Связь с декартовыми координатами:

Уравнение Лапласа:

Подстановка приводит к следующему уравнению:

Вытянутые сфероидальные координаты:

Связь с декартовыми координатами:

Оператор Лапласа:

Сферические координаты:

Связь с декартовыми координатами:

Оператор Лапласа:

Эллиптические координаты. Выражения декартовых координат через эллиптические:

где

Введем обозначение

тогда

Если положить то

эллиптические функции Вейерштрасса от новых переменных Проведенное преобразование называют иногда преобразованием Ламе.

Двумерный оператор Лапласа и конформное преобразование координат. Если новые координаты связаны с х и у соотношениями

не обращаются одновременно в нуль, то преобразование называется конформным. При этом преобразовании

Уравнение Лапласа принимает вид т. е. остается инвариантным.