Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 5. Решение краевых задач1. Решение первой краевой задачи (задачи Дирихле) для круга. Введем полярные координаты Будем искать функцию Заданную функцию
как известно,
Тогда решение нашей задачи можно представить в виде ряда
Внешняя задача Дирихле для круга. Ее решение дается формулой
Интеграл Пуассона. Ряды (3.29) и (3.30) можно просуммировать, результатом суммирования и будут интегральные формулы Пуассона. Эти формулы имеют вид
для внутренней задачи Дирихле и
для внешней задачи Дирихле. 2. Метод конформных отображений. Всякую плоскую односвязную область, ограниченную кусочно гладкой кривой, можно взаимно однозначно отобразить на единичный круг. Задача Дирихле для такой области сводится к внутренней задаче Дирихле для круга. Обозначим новые независимые переменные через
Как известно,
и, следовательно, 3. Вторая краевая задача (задача Неймана) для круга. Решение имеет вид
где коэффициенты определяются равенствами
Коэффициент
Внешняя задача Неймана для круга имеет решением
Коэффициенты
Суммирование вновь приводит к интегралу Дини. Третья краевая задача. Решение аналогично, если Для внутренней задачи 00
Для внешней задачи 00
Коэффициенты
Для внешней задачи они определяются из аналогичных уравнений, в которых 4. Решение задачи Дирихле для кольца, образованного двумя концентрическими окружностями. Пусть В области, не содержащей начала координат, ограниченным решением будет
Коэффициенты
5. Вторая краевая задача (задача Неймана) для кольца. Решением будет по-прежнему ряд (3.34). Коэффициенты
Решение третьей краевой задачи проводится аналогично, если 6. Первая краевая задача для цилиндра. Цилиндр ограничен плоскостями Обозначим через
Пусть, далее,
тогда
I — модифицированная функция Бесселя первого рода,
7. Решение задачи Дирихле для сферы
Преобразуем его, положив
Разделяя переменные, получим:
Решения этого уравнения, ограниченные при
При
обладающие осевой симметрией, т. е. не зависящие от Общее решение уравнения
Частным решением, ограниченным внутри сферы, будет
Частным решением, ограниченным вне сферы, будет
Методом суперпозиции построим решение уравнения Лапласа, ограниченное внутри сферы:
Коэффициенты
откуда
Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу (3.35), меняя местами суммирование и интегрирование и проводя суммирование, придем к формуле Пуассона, справедливой при
При решении внешней задачи множитель 8. Гармонические многочлены от трех независимых переменных. Однородные гармонические многочлены от трех независимых переменных иногда называются шаровыми функциями. Их легко построить методом неопределенных коэффициентов. Так, например, гармонический полином второй степени можно построить из общего полинома второй степени
Заметив, что
Заметим еще, что Всякий гармонический многочлен выражается через лапласову шаровую функцию
где 9. Решение задачи Дирихле для прямоугольника
откуда
или, наоборот,
Рассмотрим случай, когда на трех сторонах прямоугольника искомая функция равна нулю, а на четвертой стороне, например на стороне
Определим коэффициенты
откуда
Если функция и отлична от нуля на стороне
Коэффициенты Если искомая функция отлична от нуля только на стороне
где
наконец, если
Решение для общего случая граничных условий может быть получено суммированием четырех найденных решений. Задачу Неймана для прямоугольника рекомендуется свести к задаче Дирихле. Третья краевая задача для прямоугольника. Найдем гармоническую функцию, которая на трех сторонах прямоугольника, например при
а на четвертой стороне
Положим
Здесь
на стороне Коэффициенты
Следовательно,
Аналогично строятся решения, для которых
отлично от нуля поочередно на каждой из остальных сторон. Окончательный результат получается суммированием найденных решений. 10. Решение задачи Дирихле для параллелепипеда. Решение вполне аналогично решению задачи Дирихле для прямоугольника. Рассмотрим параллелепипед
Легко убедиться, что
Построим решение
отсюда
Точно так же
представляет решение, обращающееся в нуль на всех гранях, кроме грани Аналогично с заменой Окончательное решение получается суммированием шести найденных решений. Третья краевая задача решается аналогично тому, как она решена для прямоугольника.
|
1 |
Оглавление
|