§ 5. Теоремы существования для смешанных краевых задач

При изучении вопросов существования решений смешанных краевых задач основным аппаратом исследования служили: 1) метод интегральных уравнений, 2) методы функционального анализа, 3) метод конечных разностей (метод сеток).

Ниже приводится краткая характеристика этих приемов; с их полной теорией читатель может познакомиться в цитируемой литературе.

1. Метод интегральных уравнений. Отправным пунктом в методе интегральных уравнений служит «нормальная» краевая проблема Трикоми. Рассмотрим такую задачу (8.19) для уравнения (8.18), полагая при этом, что теперь в полуплоскости точки (рис. 4) соединены дугой нормальной кривой Трикоми [51] для значения и Геллерстедт [84] в случае пришли к эффективному решению этой задачи, исследуя отдельно в областях следующие две вырождающиеся краевые проблемы. Прежде всего, в эллиптической области изучается сингулярная задача

Дирихле — Неймана с краевыми данными

Используя явное выражение для функции Грина этой задачи [88], удается найти ее эксплицитное решение Затем в гиперболической области рассматривается сингулярная задача Трикоми, где функция определяется по ее значениям Для этой задачи с помощью явной функции Грина-Адамара также удается построить решение в замкнутой интегральной форме Будем, наконец, считать, что значения принесенные на линию перехода соответственно из областей совпадают друг с другом Тогда, исключив из возникающих при этом соотношений функцию придем окончательно к интегральному уравнению для

Здесь известная функция, которая явно (в квадратурах) выражается через При этом интеграл, входящий в уравнение (8.41), понимается в смысле главного значения по Коши, что помечается звездочкой над знаком интеграла. Таким образом, (8.41) представляет собой сингулярное интегральное уравнение второго рода с особым ядром типа Коши. Трикоми обратил это уравнение (при методом итераций. С. Геллерстедт [84] и Михлин [41], [42] показали, что его решение может быть получено и более простым, основанным на теории аналитических функций, методом Карлемана. В классе функций таких, что интегралы конечны, это решение единственно и дается формулой

Как показывают оценки, найденные для выражения и интеграла в правой части формулы (8.42), если то равенство (8.42) определяет функцию непрерывную и ограниченную внутри интервала а также на его левом конце Однако при обращается в общем случае в бесконечность порядка Тем не менее наличие такой особенности не нарушает справедливости теорем единственности, доказанных для более широких классов функций

Вычислив таким путем функцию нетрудно затем найти как в области так и в характеристическом треугольнике и тем самым полностью решить нормальную задачу Трикоми.

Эффективное обращение интегрального уравнения (8.41) дало возможность также доказать существование решения задачи Трикоми и для граничных контуров более общей формы. Так, например, было установлено [51], [84], что если достаточно гладкая кривая вблизи точек и оканчивается малыми дугами нормального контура а в остальной части лежит вне то задаче Трикоми будет также отвечать сингулярное интегральное уравнение вида (8.41), но на этот раз его ядро содержит дополнительное слагаемое конечное и непрерывное всюду в области — Такое сингулярное уравнение с помощью формулы (8.42) может быть приведено к эквивалентному интегральному уравнению Фредгольма второго рода, разрешимость которого (в силу известной альтернативы Фредгольма) следует из единственности решения задачи Трикоми.

Аналогичная альтернативная аргументация (существование решения следует из его единственности) с успехом использовалась и при изучении задач Франкля (8.25), (8.26), (8.28) (см. [4], [11], [21], [65], [79], [96]). Не останавливаясь на перечислении других результатов, приведем подробную формулировку только для одной из полученных таким путем теорем существования [65], [96]. Положим, что кривая на рис. 6

соединяет точки и определена параметрическими уравнениями причем длина дуги, отсчитываемая на от точки к длина всей линии Будем считать, что лежит всюду вне нормального контура только в некоторой достаточно малой окрестности точек и кривые совпадают. Потребуем также, чтобы на всем протяжении линии выполнялось условие некоторая положительная константа), причем пусть вблизи точки кривая а, совпадает с куском характеристики

Теорема 8.5. Если, кроме перечисленных требований, является монотонно возрастающей функцией, а то существует решение уравнения (8.15), квазирегулярное в области и удовлетворяющее граничным условиям

где Следует заметить, что довольно стеснительные ограничения, наложенные здесь на не являются существенно необходимыми; так, например, даже в пределах метода интегральных уравнений теорему существования для эллиптической области удалось распространить на более общие граничные кривые [16], [59].

Другой подход к изучению вопросов существования содержится в работах [4], [38], [78], [86]. Здесь с помощью альтернирующего метода Шварца из разрешимости задачи Трикоми для нормальных областей устанавливается ее разрешимость для областей с более общим эллиптическим контуром При этом доказательство сходимости альтернирующего процесса существенно опирается на принцип экстремума, сформулированный выше для задачи Таким путем удалось показать, что существование решения проблемы Трикоми может быть обеспечено и без введения тех жестких требований, которые предъявляются к в методе интегральных уравнений.

При исследовании смешанных краевых задач оказался весьма плодотворным также и классический метод Грина, позволяющий свести рассматриваемую краевую проблему к задаче построения ее функции Грина [87].

2. Методы функционального анализа. Существенно новую трактовку проблемы существования дают методы функционального анализа [83], [89], [94]. Поясним принцип применения этих методов на примере задачи Франкля — Моравец (8.26) [94]. Рассматривая область на рис. 7, будем полагать, что кривая имеет кусочно непрерывную касательную, а линия отображение дуги на плоскость звездообразна относительно начала координат, т. е. при перемещении вдоль против часовой стрелки выполняется условие

где — некоторая положительная константа. Условимся считать также, что на справедливы неравенства

Потребуем, кроме того, чтобы функция имела положительную производную при и заметим, что однородное уравнение (8.15) с неоднородными краевыми условиями (8.26) может быть заменено неоднородным уравнением Чаплыгина

с однородными (нулевыми) граничными условиями

Введем, наконец, обозначения и вместо (8.43) рассмотрим эквивалентную систему уравнений первого порядка

Тогда задача (8.45), (8.44) будет решена, если в области будет найден вектор удовлетворяющий условиям

где а оператор определяется формулами (8.45). Дальнейшие построения К. Моравец базируются на так

называемом слабом решении задачи (8.46), (8.47). Для определения этого понятия рассмотрим гильбертово пространство всех пар измеримых в области функций с конечной нормой

скалярным произведением двух векторов в этом пространстве является выражение

Введем еще в рассмотрения множество всех пар непрерывно дифференцируемых функций обладающих следующими свойствами:

Вектор называется слабым (в смысле К. Моравец) решением задачи (8.46), (8.47), если для каждой функции выполняется равенство

где В случае непрерывной дифференцируемости слабого решения и из формулы (8.49) непосредственно следует, что удовлетворяет уравнению (8.46) и условию (8.47). Поэтому для того, чтобы доказать, что вектор является решением задачи (8.46), (8.47) в обычном смысле, достаточно установить следующие положения: 1) доказать, что слабое решение существует и единственно; 2) исследовать дифференциальные свойства слабого решения и проверить, удовлетворяет ли оно тем требованиям гладкости, которые предъявляются к строгим решениям в классическом сильном смысле (доказать теорему дифференцируемости слабого решения).

Первая задача этой программы является более легкой частью исследования и решается так.

Вводится вспомогательное гильбертово пространство всех пар измеримых функций с конечной нормой в этом пространстве скалярное произведение векторов определяется формулой

Это пространство содержит в себе подпространство а из (8.48в) следует также, что Затем доказывается, что для всех имеет место энергетическое неравенство

где В — некоторая не зависящая от положительная константа. Из этой априорной оценки прежде всего следует единственность решения сопряженной задачи (уравнение имеет единственное решение Наконец, присоединяя к (8.50) классические теоремы Рисса из теории гильбертова пространства, можно показать, что для каждой функции при введенных выше предпосылках действительно существует слабое решение задачи (8.46), (8.47).

Эта слабая теорема существования К. Моравец была дополнена в работах [83] и [89], авторы которых доказали, что слабое решение является также и сильным (в смысле К. Фридрихса) решением задачи (8.46), (8.47). Аналогичным путем были установлены теоремы существования слабого решения для прямой задачи теории сопла Лаваля [70], а также для различных модификаций первой ударной задачи Франкля (8.28) [40] и для пространственной проблемы Трикоми [13].

Для ряда других смешанных краевых задач функциональная методика доказательства существования слабых решений была разработана Ю. М. Березанским [7], который получил энергетические неравенства в других нормах и для уравнений более общих, чем уравнение Чаплыгина.

3. Метод конечных разностей. Для целей приближенного вычисления решений смешанных краевых задач, а также в теоретических вопросах существования и единственности в ряде исследований использовался известный метод

сеток. Так, в работах [15], [30], [39], [55], [75] для доказательства разрешимости задачи Трикоми строятся различные разностные схемы и выясняется, при каких условиях они сходятся к точному решению; здесь же оценивается и погрешность от замены точного дифференциального уравнения его конечноразностным аналогом. Кроме проблемы Трикоми, путем сеточной аппроксимации решений изучались также задача Франкля — Моравец [1], проблема Франкля о клине с головной ударной волной [101] и краевые задачи для смешанных областей, изображенных на рис. 9, б и 10 [30]. Для численного решения смешанных задач газовой динамики применялся и известный метод прямых [35], [74].