§ 4. Задача Коши

1. Постановка задачи. В подавляющем большинстве задач математической физики требуется найти решение уравнений, удовлетворяющее некоторым дополнительным данным. Эти дополнительные условия весьма различны по характеру и зависят от постановки физической задачи, приводящей к данным уравнениям. Характерные для каждого типа уравнений дополнительные условия будут рассматриваться в соответствующих главах.

Следует указать, что при всем разнообразии видов дополнительных условий эти последние чаще всего таковы: некоторые производные от искомого решения (часто и само решение) должны принимать заданные значения на заданных поверхностях (линиях в случае двух независимых переменных). Такие дополнительные условия обычно называются краевыми, задача интегрирования дифференциального уравнения при заданных краевых условиях называется краевой задачей.

Одной из важнейших краевых задач математической физики является задача Ноши. Изложим постановку этой задачи для простейшего случая — для уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными, линейного относительно старших производных (уравнение (1.3)).

Зададим в плоскости х, у некоторую кривую точки которой будем обозначать Пусть параметрические уравнения этой кривой будут

Можно считать, что есть длина дуги кривой, отсчитываемая от некоторой начальной точки. Кривую предположим гладкой, так что функции непрерывно дифференцируемы.

Пусть вдоль кривой 10 заданы некоторые функции Задача Коши для уравнения (1.3) состоит в следующем: окрестности кривой требуется найти интеграл этого

уравнения , удовлетворяющий так называемым условиям Коши

где I — данное направление, вообще говоря свое в каждой точке кривой и ни в одной точке не касательное к этой кривой Функции и называются данными Коши.

Если функция дифференцируема, то на кривой можно определить первые производные искомой функции из системы уравнений

где направление касательной к определитель системы (1.47), равный отличен от нуля.

С геометрической точки зрения условия Коши определяют аппликаты интегральной поверхности и касательные плоскости к ней вдоль кривой лежащей на интегральной поверхности и проектирующейся на кривую

Допустим, что функции дифференцируемы столько раз, сколько это понадобится. Тогда по данным Коши можно попытаться вычислить на кривой значения старших производных от искомой функции. Для вторых производных получается линейная система

Для того чтобы эта система трех уравнений однозначно определяла три искомые величины, необходимо и достаточно,

чтобы определитель системы

был отличен от нуля. Дифференцируя по равенства (1.48), можно составить уравнения для определения производных от и любого порядка. Условием однозначной разрешимости этих уравнений по-прежнему остается условие , которое означает, что кривая не является характеристикой данного уравнения.

Если коэффициенты уравнения, а также функции (1.45) и (1.46) аналитические, то решение можно определить в виде ряда Тейлора

Можно доказать, что этот ряд сходится в некоторой окрестности кривой 10 и определяет единственное решение задачи Коши, — в этом состоит, для рассмотренного здесь класса уравнений, известная теорема Коши — Ковалевской.

2. Задача Коши и теорема Коши — Ковалевской для более общего случая. Будем говорить об уравнениях второго порядка с и независимыми переменными Множество точек координаты которых удовлетворяют уравнению будем называть поверхностью в пространстве переменных.

Задача Коши. В окрестности данной поверхности требуется найти интеграл данного дифференциального уравнения, если во всех точках поверхности заданы значения как самого искомого решения, так и его производной по какому-либо направлению, не касательному к поверхности.

Задача Коши, вообще говоря, не имеет решения, если поверхность оказывается характеристической для данного уравнения, так как уравнение характеристической поверхности связывает значения искомой функции на этой поверхности со

значениями производной по не касательному направлению и нельзя задать каждую из этих величин независимо.

Теорема Коши — Ковалевской. Рассмотрим уравнение в частных производных второго порядка. Выделим одну из независимых переменных, обозначив ее через (в задачах физического характера такой выделяемой независимой переменной обычно является время). Предположим, что данное уравнение разрешимо относительно производной и, следовательно, может быть приведено к виду

уравнение (1.49) может быть и нелинейным.

На поверхности где — некоторая постоянная, зададим начальные условия

Поверхность не характеристическая — в противном случае уравнение (1.49) не содержало бы члена

В пространстве координат рассмотрим некоторую точку Формулы (1.50) позволяют вычислить в этой точке в момент времени значения искомой функции и и всех ее производных, входящих в правую часть уравнения (1.49); эти значения будем обозначать нуликом. Так, например,

Теорема Коши-Ковалевской утверждает, что если аналитические функции своих аргументов при значениях этих аргументов, близких соответственно к

то задача Коши (1.49) — (1.50) имеет аналитическое решение в окрестности точки Это решение — единственное в классе аналитических функций.

Теорема Коши — Ковалевской распространяется на широкий класс уравнений . систем уравнений в частных производных любого порядка. Подробно об этом см. [1].

3. Корректность задач математической физики. Будем называть краевую задачу корректной, если существует одно и только одно решение уравнения, удовлетворяющее заданным краевым условиям, и если малым изменениям данных функций, входящих в краевые условия, соответствуют малые изменения решения (иначе говоря, если решение непрерывно зависит от краевых данных). Последнее требование необходимо для того, чтобы теоретические результаты, полученные решением краевой задачи, можно было использовать в практических приложениях, в которых краевые данные на самом деле известны лишь с той точностью, которую могут обеспечить наши измерительные приборы. В случае корректной задачи возможные погрешности в определении краевых условий не обесценивают найденных решений, приводя лишь к незначительным количественным отклонениям теоретического решения от экспериментальных результатов.

Понятие корректности предполагает возможность оценки «близости» двух функций. Существуют различные критерии такой близости. Приведем один пример.

Пусть заданные на поверхности функции непрерывны вместе со своими производными до некоторого порядка включительно, и пусть эти функции входят в качестве данных в краевые условия некоторой краевой задачи..

Относительно искомой функции предположим, что она непрерывна вместе со своими производными до порядка включительно.

Будем говорить, что зависимость от начальных данных непрерывна с порядком если фиксированной произвольной системе положительных чисел всегда соответствует такая система положительных чисел что неравенства

становятся справедливыми, как только выполняются неравенства

Символами обозначены все частные производные соответствующего порядка.

4. Пример некорректной задачи (пример Адамара). Найдем решение уравнения

в полуполосе следующих дополнительных условиях:

Если положить то единственным решением задачи будет Если же положить то единственным решением будет

Легко проверить, что функция и все ее производные при достаточно большом сколь угодно мало отличаются от нуля. В то же время и при всяком постоянном у, отличном от нуля, имеет вид косинусоиды со сколь угодно большой амплитудой, следовательно, при достаточно большом сколь угодно отличается от нулевого решения.