Главная > Линейные уравнения математической физики
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 3. Основные свойства гармонических функций

1. Дифференцируемость и аналитичность. Гармоническая функция дифференцируема бесконечное число раз, и все ее производные гармоничны. Более того, всякая гармоническая функция аналитична.

2. Теорема о среднем. Пусть функция гармонична в -мерной области и пусть шар, ограниченный сферой целиком расположен внутри области Тогда значение гармонической функции в центре С сферы равно среднему арифметическому ее значений на поверхности этой сферы:

Здесь радиус сферы площадь поверхности сферы радиуса единица (см. стр. 58).

Для плоскости и для трехмерного пространства теорема о среднем соответственно принимает вид

(здесь -окружность радиуса с центром в точке С) и

Верна и обратная теорема: если в области функция и непрерывна и для нее справедлива теорема о среднем, то эта функция гармонична в области

3. Принцип максимума. Если функция гармонична в конечной области и отлична от тождественной постоянной, то внутри области эта функция не принимает ни

наибольшего, ни наименьшего значения. Если данная гармоническая функция, кроме того, непрерывна в замкнутой области в области вместе с ее границей), то эта функция принимает как наименьшее, так и наибольшее свое значение только на границе области.

Две гармонические функции, совпадающие на границе области, тождественно совпадают и всюду внутри.

4. Теорема Лиувилля. Функция, гармоническая во всем пространстве (на всей плоскости) и ограниченная сверху или снизу, есть постоянная?

5. Первая теорема Гарнака. Если последовательность функций гармонических внутри конечной области и непрерывных на ее границе, равномерно сходится на границе, то она равномерно сходится и во всей области. При этом предельная функция будет гармонической внутри области.

6. Вторая теорема Гарнака. Пусть неотрицательные функции, гармонические внутри области Если ряд сходится хотя бы в одной внутренней точке области, то он сходится всюду внутри области, сумма его — гармоническая функция и для всякой замкнутой подобласти, целиком лежащей внутри сходимость равномерна.

7. Вариационные свойства. 1) В классе непрерывно дифференцируемых в замкнутой области функций, принимающих заданное значение на границе 5 данной области функция, гармоническая в этой области, сообщает наименьшее значение так называемому интегралу Дирихле

2) Гармоническая в области функция, удовлетворяющая на границе 5 этой области краевому условию

где заданная на 5 непрерывная функция, сообщает, в классе непрерывно дифференцируемых в замкнутой области функций, минимум функционалу

3) Вариационный принцип, сформулированный в 2), остается в силе и тогда, когда но в этом случае функция необходимо должна удовлетворять равенству

Функция, удовлетворяющая в области уравнению Пуассона

и одному из перечисленных выше краевых условий, обладает теми же вариационными свойствами, с той разницей, что интеграл Дирихле должен быть заменен интегралом

при условие (3.21) должно быть заменено следующим:

8. Гармонические функции от двух независимых переменных и аналитические функции от комплексного переменного. Действительная и мнимая части любой аналитической функции от комплексной переменной представляют собой гармонические функции.

Пример 1. Гармонические полиномы от двух независимых переменных. Положим где целое положительное число. аналитическая функция при всех значениях Действительная и мнимая части от называются гармоническими полиномами.

Приводим выражения для гармонических полиномов при различных значениях

Пример 2. Функция где целое положительное число, аналитическая всюду, кроме точки В соответствии с этим функции

гармоничны в любой области, не содержащей начала координат.

Пример 3. Функции аналитичны при всех значениях Отделяя их действительные и мнимые части, придем к важным гармоническим функциям:

Пример 4. Функция аналитична в плоскости с выключенной полупрямой Ее действительная часть и ее мнимая часть будут гармоническими функциями в указанной области.

1
Оглавление
email@scask.ru