§ 3. Основные свойства гармонических функций

1. Дифференцируемость и аналитичность. Гармоническая функция дифференцируема бесконечное число раз, и все ее производные гармоничны. Более того, всякая гармоническая функция аналитична.

2. Теорема о среднем. Пусть функция гармонична в -мерной области и пусть шар, ограниченный сферой целиком расположен внутри области Тогда значение гармонической функции в центре С сферы равно среднему арифметическому ее значений на поверхности этой сферы:

Здесь радиус сферы площадь поверхности сферы радиуса единица (см. стр. 58).

Для плоскости и для трехмерного пространства теорема о среднем соответственно принимает вид

(здесь -окружность радиуса с центром в точке С) и

Верна и обратная теорема: если в области функция и непрерывна и для нее справедлива теорема о среднем, то эта функция гармонична в области

3. Принцип максимума. Если функция гармонична в конечной области и отлична от тождественной постоянной, то внутри области эта функция не принимает ни

наибольшего, ни наименьшего значения. Если данная гармоническая функция, кроме того, непрерывна в замкнутой области в области вместе с ее границей), то эта функция принимает как наименьшее, так и наибольшее свое значение только на границе области.

Две гармонические функции, совпадающие на границе области, тождественно совпадают и всюду внутри.

4. Теорема Лиувилля. Функция, гармоническая во всем пространстве (на всей плоскости) и ограниченная сверху или снизу, есть постоянная?

5. Первая теорема Гарнака. Если последовательность функций гармонических внутри конечной области и непрерывных на ее границе, равномерно сходится на границе, то она равномерно сходится и во всей области. При этом предельная функция будет гармонической внутри области.

6. Вторая теорема Гарнака. Пусть неотрицательные функции, гармонические внутри области Если ряд сходится хотя бы в одной внутренней точке области, то он сходится всюду внутри области, сумма его — гармоническая функция и для всякой замкнутой подобласти, целиком лежащей внутри сходимость равномерна.

7. Вариационные свойства. 1) В классе непрерывно дифференцируемых в замкнутой области функций, принимающих заданное значение на границе 5 данной области функция, гармоническая в этой области, сообщает наименьшее значение так называемому интегралу Дирихле

2) Гармоническая в области функция, удовлетворяющая на границе 5 этой области краевому условию

где заданная на 5 непрерывная функция, сообщает, в классе непрерывно дифференцируемых в замкнутой области функций, минимум функционалу

3) Вариационный принцип, сформулированный в 2), остается в силе и тогда, когда но в этом случае функция необходимо должна удовлетворять равенству

Функция, удовлетворяющая в области уравнению Пуассона

и одному из перечисленных выше краевых условий, обладает теми же вариационными свойствами, с той разницей, что интеграл Дирихле должен быть заменен интегралом

при условие (3.21) должно быть заменено следующим:

8. Гармонические функции от двух независимых переменных и аналитические функции от комплексного переменного. Действительная и мнимая части любой аналитической функции от комплексной переменной представляют собой гармонические функции.

Пример 1. Гармонические полиномы от двух независимых переменных. Положим где целое положительное число. аналитическая функция при всех значениях Действительная и мнимая части от называются гармоническими полиномами.

Приводим выражения для гармонических полиномов при различных значениях

Пример 2. Функция где целое положительное число, аналитическая всюду, кроме точки В соответствии с этим функции

гармоничны в любой области, не содержащей начала координат.

Пример 3. Функции аналитичны при всех значениях Отделяя их действительные и мнимые части, придем к важным гармоническим функциям:

Пример 4. Функция аналитична в плоскости с выключенной полупрямой Ее действительная часть и ее мнимая часть будут гармоническими функциями в указанной области.