§ 6. Функция Грина (функция источника)

1. Функция Грина для первой краевой задачи уравнения Пуассона Пусть и удовлетворяет уравнению Пуассона в замкнутой области Согласно фундаментальной формуле

Пусть гармоническая функция в области тогда

Складывая (3.38) и (3.39), получаем:

где

Если удастся определить так, чтобы на поверхности удовлетворялось равенство то на поверхности будет равно нулю, и так как и на поверхности задана, то мы получим явную форму решения первой краевой задачи

Для уравнения Лапласа

Функция называется функцией Грина или функцией источника. Она удовлетворяет следующим условиям:

1) Функция О удовлетворяет уравнению Лапласа в области всюду, кроме точки где она имеет особенность вида

2) На границе области

Эти два условия определяют функцию.

3) Функция Грина симметрична относительно точек

Построение функции Грина сводится к решению первой краевой задачи для функции принимающей на границе области значение таким образом, решив для функции первую краевую задачу с условиями специального вида, можно находить решения первой краевой задачи для уравнений Лапласа и Пуассона с любыми граничными условиями.

Рис. 3.

Плоский случай:

где гармоническая функция в области на границе следовательно,

Функция Грина для круга:

Функция Грина для сферы. Рассмотрим сферу с центром в точке С и радиусом (рис. 3). Назовем точки и симметричными относительно сферы, если они лежат на одном луче, выходящем из центра сферы, и если Легко установить из подобия треугольников и что если точка сферы, то

Введем функцию гармоническую внутри сферы (она гармонична всюду, кроме точки на границе

следовательно, Приводим значение на границе области:

Аналогично строится функция Грина для внешности сферы, при этом точки меняются местами.

Понятие о функции Грина переносится и на бесконечные области.

Функция Грина для бесконечной полуплоскости :

где заданные значения функции на оси х.

Функция Грина для полупространства Рассмотрим точки и симметричные относительно плоскости Расстояние произвольной точки до этих точек обозначим через легко видеть, что

будет функцией Грина для верхнего полупространства,

Решение первой краевой задачи для уравнения Лапласа дается формулой

где заданные значения функции и на плоскости

Решение для уравнения Пуассона получается добавлением слагаемого

2. Метод Грина для решения второй краевой задачи (задачи Неймана) уравнений Лапласа и Пуассона. Функция Неймана (или функция Грина второго рода) определяется следующими требованиями: в области где гармоническая в функция, на поверхности

Решение задачи Неймана имеет вид

Произвольная постоянная с может быть отброшена, так как задача Неймана решается с точностью до произвольной аддитивной постоянной.

Для уравнения Лапласа следовательно,

Функция Неймана для сферы (внутренняя задача):

Обозначения см. на рис. 3. Решение второй краевой задачи для уравнения Лапласа:

В решение уравнения Пуассона добавляется еще одно обычное слагаемое.

Функция Неймана для сферы (внешняя задача);