§ 4. Решение уравнения теплопроводности на бесконечной прямой

1. Общие соображения. Требуется решить уравнение

при начальных условиях заданных на бесконечной прямой, и при дополнительном условии ограниченности решения при всех значениях х и при всех

Решение этой задачи дается формулой

где

Для того чтобы функция и определяемая формулой (6.29), была решением уравнения теплопроводности и удовлетворяла начальному условию, достаточно, чтобы функция была непрерывной и чтобы существовал интеграл

При этих условиях интеграл (6.29) равномерно сходится при интегралы, полученные из (6.29) дифференцированием под знаком интеграла любое число раз по и по сходятся равномерно при де 8 — любое положительное число. Отсюда вытекает, как известно, что интеграл (6.29) можно дифференцировать под знаком интеграла по х и по любое число раз.

Только что сформулированные условия можно ослабить, Так, достаточно, чтобы начальная функция была непрерывна и чтобы на бесконечности она возрастала не быстрее, чем где — положительные постоянные, причем а 2. При таком условии интеграл (6- 29), а также интегралы, полученные из него дифференцированием любого порядка по под знаком интеграла, равномерно сходятся в области где 8 — любое положительное число,

Физический смысл источника тот же, что и в § 3: функция есть температура в точке и в момент времени созданная источником, сосредоточенным в точке в момент времени

Во всякой точке температура, создаваемая мгновенным точечным источником в момент отлична от нуля при сколь угодно малом положительном тепло источника распространяется с бесконечно большой скоростью. Этот парадоксальный результат объясняется тем, что при выводе уравнений теплопроводности не учитывалась инерция движения молекул, передающих тепло. Теория остается практически пригодной благодаря тому, что при малых значениях тепловая энергия, поступающая в точки, удаленные от источника, весьма мала.

Существенно, что распределение температур от мгновенного источника тождественно с гауссовым распределением ошибок в теории вероятностей.

2. Случай разрывного распределения начальных температур. Пусть начальное распределение температур определяется функцией

Тогда решение приводится к виду

где символом обозначен интеграл ошибок

3. Функция и решение неоднородного уравнения теплопроводности. Введем функцию

Эта функция представляет температуру, созданную мгновенным источником, действовавшим в момент . С помощью функции легко может быть записано решение неоднородного уравнения

В силу того, что функция задает распределение мгновенных источников по оси х и по времени можно суммированием их действия получить решение неоднородного уравнения при нулевых начальных условиях в следующей форме;

Решение неоднородной задачи при начальных условиях к дается формулой

Функция удовлетворяет уравнению теплопроводности по при

По переменным функция О удовлетворяет присоединенному уравнению

Функция симметрична относительно аргументов х и

4. Краевые задачи для полубесконечной прямой. Ищется ограниченное решение уравнения (6.3) на полубесконечной прямой при обычном начальном условии и при различных краевых условиях в точке

Решение получается из решения, полученного для бесконечной прямой нечетным продолжением функции заданной при на полупрямую что приводит к формуле

где на этот раз

В этом случае начальные условия, заданные при должны быть продолжены четно, так как производная от четной функции нечетна; решение опять имеет вид (6. 33) с функцией источника

В этом случае решение имеет вид (6.33) с