§ 5. Уравнения высших порядков с малым параметром при старших производных

1. Вырождение эллиптических уравнений в эллиптические. Пусть область -мерного пространства с гладкой границей координаты точек на Введем в окрестности систему координат где расстояние по нормали к Величина столь мала, что отрезки нормали длины не пересекаются. Через обозначим дифференциальные операторы порядка не выше определенные для функций, заданных в Будем считать,

что эллиптические операторы. Задачей назовем задачу

и задачей задачу

где производные по нормали к Разыскивая решение задачи в виде в силу определения имеем:

откуда

Отметим, что к функциям мы применяем операторы более высокого порядка, чем Чтобы функции были достаточно гладкими, надо потребовать соответствующей гладкости задачи Заметим, далее, что, решая уравнения вида мы можем удовлетворить только граничным условиям, тогда как функция должна удовлетворять граничным условиям. Здесь, как и ранее, надо ввести в компоненту типа пограничного слоя, чтобы добиться выполнения оставшихся I граничных условий. Естественно, что для этого соответствующие функции должны обладать I степенями свободы.

Для реализации сказанного нужно получить второе разложение оператора Это делается следующим образом. Переходя к координатам запишем операторы в виде

где содержат производные по порядка Полагая тогда имеем:

Разложив по формуле Тейлора с членами (и также разлагая коэффициенты операторов найдем:

где

и коэффициенты всех операторов (кроме имеют вид

Компоненту типа пограничного слоя будем искать в форме

т. е. мы будем строить решение таким образом:

Вследствие того, что функции находят с помощью первого итерационного процесса, должно быть т. е.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в, находим, в частности,

Это обыкновенное линейное дифференциальное уравнение с постоянными (относительно коэффициентами. Его характеристическое уравнение есть

Говорят, что задача А, вырождается в задачу регулярно, если число корней этого уравнения с отрицательной

вещественной частью совпадает с числом граничных условий задачи выпадающих при ее вырождении в задачу равно

Если вырождение регулярно, то общее решение типа пограничного слоя уравнения (5.83) имеет вид

где — упомянутые корни уравнения (5.84) (для простоты будем считать, что все эти корни различны). Отсюда вытекает, что при условиях

существует единственное решение уравнения (5.83) типа пограничного слоя.

Опишем теперь подробно двойной итерационный процесс нахождения . Зададим натуральное и будем искать

где остаточный член. Число в (5.82) будем считать равным Мы получим

Приравнивая нулю коэффициенты при имеем:

Найдем граничные условия, которым должны удовлетворять функции и Равенства

дают после приравнивания коэффициентов при степенях нулю:

где положено при при

Уравнения (5.85) с условиями (5.86) позволяют последовательно найти все функции причем функции будут иметь вид

где многочлены относительно

Если предположить, что значение не принадлежит спектру задачи и принять следующую гипотезу об ограниченности снизу операторов при означает равномерную по ограниченность

где некоторые банаховы нормы, то при достаточной гладкости задач остаточный член в соответствующим образом подобранной норме будет иметь порядок

2. Взаимное вырождение эллиптических и одно характеристических уравнений. Уравнение нечетного порядка называется однохарактеристическпм, если оно может быть записано в форме

где оператор первого порядка, эллиптический

оператор порядка любой дифференциальный оператор порядка не выше Вещественными характеристиками уравнения (5.87) будут только характеристики оператора Уравнение (5.87) будем рассматривать в области -мерного пространства, ограниченной гладкой поверхностью

Предположим, что всякая характеристика, проходящая через какую-либо точку пересекает границу в двух точках.

Обозначим множество точек «входа» характеристик в через а множество точек «выхода» — через Множества и граничат между собой по некоторому многообразию размерности есть геометрическое место точек касания характеристик с Пусть — производная по нормали к

Первой краевой задачей для уравнения (5.87) называется решение этого уравнения при граничных условиях

где

Можно рассмотреть следующие случаи:

а) Однохарактеристическое уравнение порядка вырождается в однохарактеристическое уравнение порядка Здесь надо потребовать, чтобы характеристики обоих уравнений совпадали. Точнее, достаточно, чтобы совпадали для этих задач множества

б) Эллиптическое уравнение порядка вырождается в однохарактеристическое порядка

в) Однохарактеристическое уравнение порядка вырождается в эллиптическое порядка

Как и в предыдущем пункте, решение , вырождающегося уравнения можно получить с помощью двойного итерационного процесса. Единственное отличие здесь состоит в том, что при построении будут фигурировать функции, имеющие характер пограничного слоя только вблизи или только вблизи

В статье [6] приведены условия алгебраического характера, выполнение которых обеспечивает регулярность

вырождения. Это значит, что функции типа пограничного слоя будут иметь ровно столько степеней свободы, что, распоряжаясь этими степенями свободы, можно компенсировать выпадающие граничные условия.

Следует обратить внимание на то, что в окрестности асимптотика портится, т. е. остаточный член оказывается малым только вне некоторой окрестности многообразия (см. п. 2 § 4, где разобран частный случай задачи б) при

В заключение отметим, что общих теорем о разрешимости и дифференциальных свойствах решений однохарактеристических уравнений нет. Поэтому, вместо того чтобы предполагать гладкость коэффициентов и границы задач в однохарактеристическом случае, приходится постулировать достаточную гладкость самих решений.

3. Уравнения с быстро осциллирующими граничными условиями. Рассмотрим в двумерной области с границей уравнение

где оператор порядка причем операторы эллиптические. Будем считать, что вырождение оператора регулярное. В качестве граничных условий возьмем

Пусть малый параметр, большой параметр. Считая, что оператор обратим равномерно по будем искать асимптотику решения рассматриваемой задачи.

Искомое асимптотическое разложение существенно зависит от соотношения скоростей роста

Если то решение будет иметь следующее представление:

Функции имеют характер пограничного слоя. Каждая из них имеет степеней свободы, что дает возможность удовлетворить граничным условиям.

Если где то для построения асимптотики решения используются два способа разложения оператора Оба связанных с ними итерационных процесса приводят к функциям типа пограничного слоя. При этом разложение будет содержать целые степени величин

Если где то достаточно одного способа разложения оператора Решение получается в виде где

Функции имеют опять-таки характер пограничного слоя, обладая степенями свободы.

Если эллиптический дифференциальный оператор не зависит от то осцилляция граничных условий за счет большого параметра все-таки заставляет решение быстро исчезать при удалении от границы. Точнее, и в этом случае решение имеет характер пограничного слоя.

Кое-что из сказанного в настоящем пункте может быть перенесено на гиперболические и параболические дифференциальные уравнения [8].

4. Асимптотическое представление собственных значений и собственных функций. Пусть в -мерной области даны самосопряженные эллиптические операторы порядка где порядка причем при однородных граничных условиях оператор положительно определен, а при однородных условиях положителен, т. е.

В этом случае вырождение регулярное. Пусть собственные значения оператора простые и перенумерованы в порядке возрастания:

Обозначим через собственные значения оператора Пусть, наконец, соответствующие собственные

функции операторов Тогда

где — функции типа пограничного слоя,

Здесь

норма берется в пространстве

Ряд важных результатов по уравнениям, содержащим малый параметр множителем при старших производных, дан в работах [2], [3], [9], [14], [22], [23], [27].