§ 3. Точечные источники колебаний для уравнений теории упругости и уравнений Максвелла в случае неограниченного пространства. Задача Коши для уравнений теории упругости

1. Точечные источники колебаний в теории упругости [4], [5], [50], [95]. Пусть на бесконечное пространство, заполненное однородной изотропной упругой средой, действует сосредоточенная сила, приложенная в точке и направленная параллельно оси Пусть по величине эта сила равна нулю при при Соответствующий такой силе вектор упругих смещений определяется следующими формулами Стокса:

Введем обозначения: Если сосредоточенная сила действует в направлении оси

то для соответствующего вектора смещения получаем:

Здесь

Компоненты векторов образуют симметричный тензор играющий для уравнений теории упругости ту же роль, что фундаментальное решение для волнового уравнения.

В плоском случае фундаментальный тензор образуют составляющие векторов (имеющих тот же физический смысл, что и в трехмерном случае):

где

Здесь — орт оси

Решение задачи Коши для уравнений теории упругости

с помощью фундаментального тензора можно записать в виде

Формула (9.64) верна как в плоском, так и в трехмерном случае. Под здесь понимается вектор с компонентами В трехмерном случае компоненты тензора имеют -образные особенности (см. формулы (9.61)). Интегралы в формуле (9.64) следует понимать так, как предписывает теория обобщенных функций [22].

2. Осциллятор [37], [82], [95]. Физически осциллятор представляет собою сосредоточенный в точке диполь с моментом единичный вектор, определяющий направление диполя, заданная функция.

Осциллятору соответствует

Если ввести сферическую систему координат с центром в той точке, куда помещен осциллятор, и направить ось вдоль вектора то для компонент векторов в случае пустоты мы получим:

Поляризационный потенциал (см. § 1) при этом равен