Главная > Линейные уравнения математической физики
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 3. Краевые задачи, исследованные для других уравнений смешанного типа

Перейдем теперь к формулировке тех смешанных краевых задач, которые исследовались для других уравнений эллип-тико-гиперболического типа, перечисленных в § 1.

1. Обобщенные задачи Геллерстедта и смешанные краевые проблемы для многосвязных областей. Два обобщения задач Геллерстедта были предложены в работах и [30]. В первой из них решение уравнения (8.6) определяется по его значениям на линии а также на отрезках характеристик и соответственно (рис. 9, а). Во второй методом сеток для уравнения (8.6) решается краевая проблема, в которой искомая функция принимает предписанные значения на эллиптических контурах и характеристиках (рис. 9, б). Наряду с этим применительно к уравнению (8.6) рассматривались многосвязные области, показанные на рис. 10, а и б, причем в этом случае оказалось (см. [9] и [30]), что для однозначной разрешимости соответствующих смешанных задач, кроме краевых значений на всей эллиптической части

Рис. 9.

границы и достаточно задать, например, значение на характеристиках и соответственно.

Рис. 10.

2. Краевые проблемы для смешанных уравнений второго рода.

а) Разрывная задача Франкля. Ф. И. Франкль [73] свел задачу определения течения внутри плоскопараллельного симметричного сопла Лаваля заданной формы (прямую задачу теории сопла Лаваля) к новой краевой проблеме для смешанного уравнения второго рода (8.12):

с показателем . А именно, придя на плоскости годографа к области изображенной на рис. 4, где и на этот раз характеристики уравнения (8.31), Франкль показал, что для обеспечения существования и единственности в решения уравнения (8.31) при — уже недостаточно подчинить функцию условиям (8.19), а следует, сверх того, на отрезке линии перехода вместо обычного требования непрерывности ввести предположение (условие разрывности Франкля)

Очевидно, такое же дополнительное условие необходимо и для корректной формулировки других смешанных задач для уравнения (8.31).

б) Краевые задачи для уравнений второго рода с младшими членами. Как следует из результатов М. В. Келдыша [34], характер краевых задач, которые могут быть поставлены для линейных уравнений второго порядка с параболическими линиями, зависит не только от слагаемых, содержащих вторые производные искомой функции, но также и от младших членов уравнения. Аналогичные исследования, проведенные на примере уравнения (а — вещественная константа), показали [32], что смешанные краевые задачи, которые допускает оператор существенно зависят от значения коэффициента а. Так, например, было обнаружено, что задача Трикоми (8.19) в случае недоопределена (ее решение не единственно), а напротив, здесь при некоторых условиях гладкости корректна краевая задача Дирихле с данными на всей границе » области (рис. 4). Наоборот, при задача переопределена (ее решение не существует) и для определения функции во всей смешанной области достаточно задать ее значение лишь на эллиптической дуге а обе характеристики и следует освободить от граничных условий.

Различные обобщения этих проблем рассматривались в заметках [32] и [33].

Рис. 11.

3. Смешанные краевые задачи для уравнений высших порядков. В случае модельного уравнения четвертого порядка (8.14) при постановке смешанных задач можно рассматривать четыре типа допустимых краевых данных [3], [47]-[49]. Эти данные задаются на границах односвязной области 2, образованной простой гладкой кривой с концами в точках и характеристиками и уравнения (8.14) (рис. 11). Условия первого

типа имеют вид

Здесь I — длина дуги внутренняя нормаль, а — заданные функции, для которых

В краевых условиях второго и третьего типа требования (8.33а) сохраняются, а (8.336) заменяются соответственно равенствами

где Наконец, в условиях четвертого типа, наряду с (8.33а), нормальная производная предписывается одновременно на обоих характеристиках и Кроме этого, для уравнения (8.14) изучалась следующая «нехарактеристическая» смешанная краевая проблема [3]. Рассмотрим область (рис. 11), контур которой, наряду с линией и характеристикой содержит дугу монотонной кривой расположенной внутри характеристического треугольника и пусть вдоль а. Тогда при некоторых условиях гладкости функций , для (8.14) разрешима граничная задача

Здесь, как и выше, длина дуги на кривой отсчитываемая от точки В к А, причем полагается

Аналогичная краевая проблема может быть поставлена и для уравнения порядка

где целое положительное число [26].

Краевые задачи в смешанной области изучались также для уравнений смешанно-составного типа в случаях, когда оператор Трикоми (8.2) [12 или дифференциальный оператор Лаврентьева — Бицадзе [24].

4. Смешанные краевые задачи в пространстве трех и большего числа измерений. Проблемы Геллерстедта допускают обобщение на случай пространства любого числа измерений. Ограничимся, для простоты изложения, «нормальными» задачами Геллерстедта в трехмерном пространстве Построим в нем полусферу 5 единичного радиуса: и два характеристических конуса уравнения (8.13), первый из которых имеет вершину в точке и обращен основанием в сторону положительной части оси а второй направлен основанием в сторону отрицательной части оси а его вершина совпадает с началом координат (рис. 12). Эти конусы пересекаются вдоль окружности Обозначим, наконец, через 2 область, ограниченную поверхностью и теми частями К и конусов которые заключены

Рис. 12.

между плоскостями Тогда трехмерный аналог проблем Геллерстедта состоит в отыскании решения уравнения (8.13), непрерывного в замкнутой области 2 при условии, что на в первой задаче и на во второй пространственной задаче Геллерстедта выполняются соответственно равенства

где заданные функции точки причем на окружности

Подобные задачи рассматривались также для уравнения где при -мерном пространстве для модельного уравнения [10]

При этом было замечено, что обе проблемы Геллерстедта в приведенной выше постановке могут оказаться некорректными в том случае, когда вершина конуса находится не в начале координат, а в любой другой точке круга Трехмерный аналог задачи Трикоми изучался в работе [13].

1
Оглавление
email@scask.ru