§ 3. Краевые задачи, исследованные для других уравнений смешанного типа

Перейдем теперь к формулировке тех смешанных краевых задач, которые исследовались для других уравнений эллип-тико-гиперболического типа, перечисленных в § 1.

1. Обобщенные задачи Геллерстедта и смешанные краевые проблемы для многосвязных областей. Два обобщения задач Геллерстедта были предложены в работах и [30]. В первой из них решение уравнения (8.6) определяется по его значениям на линии а также на отрезках характеристик и соответственно (рис. 9, а). Во второй методом сеток для уравнения (8.6) решается краевая проблема, в которой искомая функция принимает предписанные значения на эллиптических контурах и характеристиках (рис. 9, б). Наряду с этим применительно к уравнению (8.6) рассматривались многосвязные области, показанные на рис. 10, а и б, причем в этом случае оказалось (см. [9] и [30]), что для однозначной разрешимости соответствующих смешанных задач, кроме краевых значений на всей эллиптической части

Рис. 9.

границы и достаточно задать, например, значение на характеристиках и соответственно.

Рис. 10.

2. Краевые проблемы для смешанных уравнений второго рода.

а) Разрывная задача Франкля. Ф. И. Франкль [73] свел задачу определения течения внутри плоскопараллельного симметричного сопла Лаваля заданной формы (прямую задачу теории сопла Лаваля) к новой краевой проблеме для смешанного уравнения второго рода (8.12):

с показателем . А именно, придя на плоскости годографа к области изображенной на рис. 4, где и на этот раз характеристики уравнения (8.31), Франкль показал, что для обеспечения существования и единственности в решения уравнения (8.31) при — уже недостаточно подчинить функцию условиям (8.19), а следует, сверх того, на отрезке линии перехода вместо обычного требования непрерывности ввести предположение (условие разрывности Франкля)

Очевидно, такое же дополнительное условие необходимо и для корректной формулировки других смешанных задач для уравнения (8.31).

б) Краевые задачи для уравнений второго рода с младшими членами. Как следует из результатов М. В. Келдыша [34], характер краевых задач, которые могут быть поставлены для линейных уравнений второго порядка с параболическими линиями, зависит не только от слагаемых, содержащих вторые производные искомой функции, но также и от младших членов уравнения. Аналогичные исследования, проведенные на примере уравнения (а — вещественная константа), показали [32], что смешанные краевые задачи, которые допускает оператор существенно зависят от значения коэффициента а. Так, например, было обнаружено, что задача Трикоми (8.19) в случае недоопределена (ее решение не единственно), а напротив, здесь при некоторых условиях гладкости корректна краевая задача Дирихле с данными на всей границе » области (рис. 4). Наоборот, при задача переопределена (ее решение не существует) и для определения функции во всей смешанной области достаточно задать ее значение лишь на эллиптической дуге а обе характеристики и следует освободить от граничных условий.

Различные обобщения этих проблем рассматривались в заметках [32] и [33].

Рис. 11.

3. Смешанные краевые задачи для уравнений высших порядков. В случае модельного уравнения четвертого порядка (8.14) при постановке смешанных задач можно рассматривать четыре типа допустимых краевых данных [3], [47]-[49]. Эти данные задаются на границах односвязной области 2, образованной простой гладкой кривой с концами в точках и характеристиками и уравнения (8.14) (рис. 11). Условия первого

типа имеют вид

Здесь I — длина дуги внутренняя нормаль, а — заданные функции, для которых

В краевых условиях второго и третьего типа требования (8.33а) сохраняются, а (8.336) заменяются соответственно равенствами

где Наконец, в условиях четвертого типа, наряду с (8.33а), нормальная производная предписывается одновременно на обоих характеристиках и Кроме этого, для уравнения (8.14) изучалась следующая «нехарактеристическая» смешанная краевая проблема [3]. Рассмотрим область (рис. 11), контур которой, наряду с линией и характеристикой содержит дугу монотонной кривой расположенной внутри характеристического треугольника и пусть вдоль а. Тогда при некоторых условиях гладкости функций , для (8.14) разрешима граничная задача

Здесь, как и выше, длина дуги на кривой отсчитываемая от точки В к А, причем полагается

Аналогичная краевая проблема может быть поставлена и для уравнения порядка

где целое положительное число [26].

Краевые задачи в смешанной области изучались также для уравнений смешанно-составного типа в случаях, когда оператор Трикоми (8.2) [12 или дифференциальный оператор Лаврентьева — Бицадзе [24].

4. Смешанные краевые задачи в пространстве трех и большего числа измерений. Проблемы Геллерстедта допускают обобщение на случай пространства любого числа измерений. Ограничимся, для простоты изложения, «нормальными» задачами Геллерстедта в трехмерном пространстве Построим в нем полусферу 5 единичного радиуса: и два характеристических конуса уравнения (8.13), первый из которых имеет вершину в точке и обращен основанием в сторону положительной части оси а второй направлен основанием в сторону отрицательной части оси а его вершина совпадает с началом координат (рис. 12). Эти конусы пересекаются вдоль окружности Обозначим, наконец, через 2 область, ограниченную поверхностью и теми частями К и конусов которые заключены

Рис. 12.

между плоскостями Тогда трехмерный аналог проблем Геллерстедта состоит в отыскании решения уравнения (8.13), непрерывного в замкнутой области 2 при условии, что на в первой задаче и на во второй пространственной задаче Геллерстедта выполняются соответственно равенства

где заданные функции точки причем на окружности

Подобные задачи рассматривались также для уравнения где при -мерном пространстве для модельного уравнения [10]

При этом было замечено, что обе проблемы Геллерстедта в приведенной выше постановке могут оказаться некорректными в том случае, когда вершина конуса находится не в начале координат, а в любой другой точке круга Трехмерный аналог задачи Трикоми изучался в работе [13].