§ 3. Обобщенные решения краевых задач

1. Общая схема [19], [25]. Пусть - гильбертово пространство и — оператор, симметричный и положительно определенный в этом пространстве, так что

Введем в рассмотрение новое гильбертово пространство , получаемое замыканием области определения оператора А в метрике, порождаемой скалярным произведением

Обобщенным решением уравнения

будем называть элемент и , удовлетворяющий тождеству

в котором есть произвольный элемент пространства . Такое обобщенное решение существует и единственно.

Зададим оператор А, приняв за область его определения множество обобщенных решений уравнения (5.52), соответствующих всевозможным элементам и положив где и есть упомянутое обобщенное решение. Оператор А есть самосопряженное расширение оператора нижние грани операторов совпадают, а область значений оператора совпадает с пространством Оператор называется самосопряженным расширением оператора А по Фридрихсу; с точки зрения теории расширений . Крейна есть жесткое расширение оператора

Понятие обобщенного решения можно расширить следующим образом. Пусть по-прежнему симметричный положительно определенный оператор, и пусть оператор В таков, что произведение ограничено в . Продолжим оператор К по непрерывности на все пространство .

Обобщенным решением уравнения

назовем элемент , который при любом удовлетворяет тождеству

Теоремы существования и единственности обобщенного решения для уравнения (5.54) в общем случае не имеют места.

В последующих пунктах настоящего параграфа будут приведены некоторые типы краевых задач, к которым применима приведенная в настоящем пункте общая схема. В качестве пространства ниже всюду фигурирует пространство скалярных или векторных (в зависимости от характера задачи) функций, суммируемых с квадратом в некоторой конечной области в соответствии с этим свободные члены рассматриваемых ниже уравнений предполагаются суммируемыми с квадратом в области

2. Самосопряженное эллиптическое уравнение второго порядка [19]. Рассмотрим эллиптическое уравнение второго порядка

где

с измеримыми и ограниченными коэффициентами и уравнение (5.56) будем считать невырождающимся (см. гл. VII настоящего сборника). Уравнение (5.56) рассмотрим при краевом условии одного из двух типов:

При любом из этих краевых условий оператор (5.56) симметричен; он будет также положительно определенным, если

причем знак неравенства имеет место на множестве положительной меры; здесь наименьшее собственное число оператора

при соответствующем краевом условии (5.57) или (5.58). В частности, в случае условия (5.57), а при также и в случае условия (5.58) достаточно, чтобы

3. Самосопряженное эллиптическое уравнение любого порядка. Рассмотрим самосопряженное уравнение

внутреннее суммирование совершается по обеим группам индексов от единицы до Относительно коэффициентов А примем, что они измеримы, ограничены и не меняются ни при какой перестановке верхних или нижних индексов, а также если верхние и нижние индексы поменять местами.

Введем в рассмотрение вспомогательные переменные будем считать, что эти переменные не меняются при перестановке индексов Уравнение (5.59) будет эллиптическим невырождающимся, если существует такая постоянная что

Для уравнения (5.59) поставим краевую задачу с простейшими условиями на границе: потребуем, чтобы на границе 5 конечной области обратились в нуль как сама искомая функция и, так и все ее производные до порядка включительно. Оператор этой краевой задачи положительно определен, а сама задача имеет обобщенное решение, если, помимо

условия (5.60), выполнено еще следующее условие:

Это последнее условие можно ослабить.

4. Сильно эллиптические системы [5]. Выделяя главную самосопряженную часть соответствующего дифференциального оператора, можно привести систему уравнений в частных производных к виду

где суммирование производится по всем значениям индексов единицы до — искомая вектор-функция, матрицы, зависимость которых от индексов такая же, как и в п. 3 для коэффициентов -дифференциальный оператор порядка

Матрицу разобьем на сумму симметричной и кососимметричной частей:

Допустим, что оператор

удовлетворяет следующему условию: на вектор-функциях, которые обращаются в нуль вместе со своими производными до порядка включительно на границе конечной области имеет место неравенство

При выполнении этого неравенства система (5.61) сильно эллиптична.

Будем рассматривать систему (5.61) при только что упомянутых краевых условиях. Эта задача — фредгольмовского типа: при она имеет только конечное число линейно независимых решений, столько же линейно независимых решений имеет и однородная сопряженная задача. Неоднородная задача разрешима тогда и только тогда, когда свободный член ортогонален ко всем решениям сопряженной однородной задачи. Наша задача во всяком случае разрешима, если оператор неотрицателен, т. е. если каждый раз, когда функция и удовлетворяет краевым условиям задачи; эта задача разрешима и в том случае, когда область можно заключить в шар достаточно малого радиуса.

5. Дифференциальные свойства обобщенных решений. В общем случае обобщенное решение сильно эллиптической системы (в частности, одного эллиптического уравнения) порядка имеет, в соответствии с определением, обобщенные производные порядка суммируемые с квадратом в данной области Если коэффициенты системы удовлетворяют некоторым условиям гладкости, то обобщенное решение имеет обобщенные производные порядка суммируемые с квадратом в любой внутренней подобласти Если, кроме того, граница области также достаточно гладкая, то обобщенные производные порядка суммируемы с квадратом во всей области [1], [12], [13], [18], [27]. Если то при определенных условиях гладкости, наложенных на коэффициенты системы и на границу области, можно утверждать, что старшие производные обобщенного решения суммируемы в области со степенью [10].