§ 4. Теоремы единственности и методы их доказательства

Переходя к рассмотрению теорем единственности, остановимся сначала на краткой характеристике тех главных классов функций, в которых может быть гарантирована однозначность решения смешанных задач при условии, что такие решения существуют. Как показывают приведенные ниже теоремы существования (§ 5), если не вводить специальных, довольно жестких ограничений на краевые данные (8.19), то решение задачи Трикоми порождает функцию обращающуюся в точке (рис. 4) в бесконечность порядка

случае, когда Такими же особенностями в параболических точках границы обладают и решения других смешанных краевых задач. Поэтому при доказательстве теорем единственности нельзя ограничиться слишком узким классом функций, имеющих производные первого порядка, конечные и непрерывные не только внутри данной смешанной области, но и повсюду на ее границе. Наоборот, приходится допустить, что в точках пересечения этой границы с линией перехода производная может иметь степенные особенности при условии, что их порядок не слишком высок Трикоми достигает этого введением описанных выше классов регулярных решений и, совершенствуя методы доказательства, устанавливает единственность в решения задачи (8.2), (8.19) последовательно для показателей Эти классы Трикоми играющие важную роль во всей теории, были положены в основу большинства исследований по проблеме существования и единственности. Однако наряду с ними для той же цели применялись и другие множества функций, среди которых в первую очередь следует отметить классы так называемых квазирегулярных решений [84], [97]. Как определяются подобные классы, мы покажем ниже на примере аbс-метода Проттера.

При доказательстве теорем единственности для смешанных краевых задач нашли применение следующие методы: 1) метод интегралов энергии, 2) метод вспомогательных функций, 3) метод, основанный на принципах максимума-минимума. Излагая идею этих приемов, мы приводим ниже подробную формулировку результатов только для задач Трикоми и Франкля — Моравец. Приложение этих же методов к другим смешанным задачам читатель может найти в цитируемых первоисточниках.

1. Метод интегралов энергии. Метод интегралов энергии в его обобщенной форме состоит в следующем. Пусть в некоторой области плоскости необходимо найти решение дифференциального уравнения причем на всей границе области или на определенной ее части задается дополнительное однородное условие

с нулевыми краевыми данными. Чтобы доказать, что повсюду в составляют выражение вида

в котором интеграл распространен по некоторой части области а достаточно гладкая функция. Затем, выбирая подходящим образом и функцию преобразуют (8.34) по формуле Грина в контурный интеграл по границе области и используют при этом условие Таким путем приходят к дефинитным выражениям, обращение которых в нуль влечет за собой вывод, что Трикоми [51] при доказательстве единственности решения задачи (8.2), (8.19) принимал (рис. 4), что приводило (при к равенству

где

Аналогичным путем [85] получались теоремы единственности и для задач Геллерстедта в случае уравнения (8.18). При этом неотрицательность интеграла устанавливалась с помощью явного соотношения между функциями найденного в результате решения вырожденных гиперболических задач в подобласти Однако такие явные равенства связаны со специальными свойствами уравнения (8.18), и поэтому метод Трикоми не мог быть распространен на нехарактеристические смешанные задачи и на более общие уравнения эллиптико-гиперболического типа. Для уравнения С. А. Чаплыгина (8.15) первые теоремы единственности в смешанных областях были получены Ф. И. Франклем [56]. Рассматривая задачу (8.19), Франкль полагал сначала что дает при

Наоборот, если исходить из гиперболической части области то тогда при можно получить

противоположный результат: из которого следует, что и поэтому Однако, в то время как неравенство (8.35) установлено без каких-либо существенных ограничений на форму подобласти и ее границы, при выводе оценки пришлось потребовать, чтобы

Такое условие означает, что если функция для всех значений неотрицательна, то теорема единственности Франкля справедлива при сколь угодно больших размерах характеристического треугольника (рис. 4). Это имеет место, например, для уравнения (8.18), где когда 0. Однако в случае уравнения Чаплыгина (8.7) коэффициенту (8.8) отвечает значение

и так как то в сверхзвуковой области когда если где число Маха). Таким образом, здесь для выполнения условия (8.36) необходимо потребовать, чтобы в точке С было и тем самым ограничить размеры области (рис. 4). Таким путем в работах [56], [58] и [73] была доказана единственность решения задачи с условием (8.27а), а также решения разрывной проблемы Франкля (8.31), (8.32), (8.19).

Дальнейшее продвижение в изучении вопросов единственности дал так называемый abc-метод Проттера — Моравец. В нем также исходят из равенства (8.34), но в качестве множителя берут линейную комбинацию

где — подлежащие определению достаточно гладкие функции от Приведем несколько важных результатов, полученных на этом пути. Условимся называть функцию квазирегулярной в области (рис. 4), если она обладает такими свойствами: 1) удовлетворяет уравнению (8.15); 2) для этой функции существуют интегралы пусть

некоторая область с границей лежащей внутри области Применим теорему Грина к двойным интегралам

и потребуем, чтобы для возникающих при этом криволинейных интегралов по кривой существовал предел, когда приближается к контуру области

В этом классе функций для задачи (8.15), (8.19) имеют место следующие теоремы единственности [97]:

Теорема 8.1. Положим, что монотонно возрастающая функция с непрерывной второй производной, причем при . Пусть, далее, является квазирегулярным решением уравнения (8.15), которое обращается в нуль на линиях (рис. 4). При этих условиях существует константа такая, что если то повсюду в области

Теорема 8.2. Обозначим через максимальную ординату на кривой (рис. 4), и пусть и обладают теми же свойствами, что и в теореме 1. Тогда существует положительная константа такая, что если то в области

Теорема 8.3. Предположим, что имеет непрерывную производную третьего порядка, которая в полуплоскости удовлетворяет условию и пусть при этом когда Тогда любое решение уравнения (8.15), принадлежащее к классу в области и обращающееся в нуль на (рис. 4), будет тождественным нулем повсюду в области

Таким образом, в теореме 8.1 эллиптическая часть области свободна от каких-либо ограничений, но зато гиперболическая часть в силу условия не должна слишком удаляться от линии перехода Тем не менее здесь т. е. функция может принимать и отрицательные значения в так что условие Проттера менее жесткое, чем требование Франкля (8.36). Наоборот, в теореме 8.2 функция может принимать любые значения при и поэтому гиперболическая подобласть может быть произвольной, но зато контур не должен простираться слишком далеко в эллиптическую

полуплоскость 0. Более сильное утверждение содержит теорема 8.3. В ней допускается произвольный эллиптический контур с другой стороны, эта теорема пригодна в той области где следовательно, критерий Франкля (8.36) не выполняется. Однако если в этой области то и эта теорема Проттера теряет силу.

В аналогичной форме abc-метод с успехом был применен и для доказательства однозначной разрешимости задачи Франкля-Моравец. Для этой задачи К. Моравец [90], рассматривая область (рис. 7) и полагая в формуле пришла к теореме единственности при следующих предположениях. Пусть непрерывно дифференцируемая функция, для которой а при Будем считать, что кривая звездная относительно точки О (рис. 7); аналитически это требование означает, что при движении вдоль против часовой стрелки должно быть

Примем также, что функция непрерывна вместе со своими первыми производными на замыкании области кроме, быть может, точек и где могут обращаться в бесконечность порядка не выше первого Если при этих предпосылках является решением уравнения (8.15), для которого на то повсюду в области

Дальнейшее развитие получил abc-метод в работах У Синьмо, Дин Сяси [95] и Проттера. Этот способ в различных вариантах применялся к проблеме Франкля (8.27а) [2], к уравнению (8.11) [71], [92], а также при исследовании пространственных задач Геллерстедта [98]. Методом интегралов энергии изучались и смешанные задачи для уравнения (8.14) [49].

2. Метод вспомогательных функции. На совершенно другой идее основан метод вспомогательных функций, предложенный К. Моравец в работе [91]. Поясним в общих чертах сущность этого метода на примере задачи (8.15), (8.26). Для

этого рассмотрим в области D (рис. 7) решение уравнения (8.15), и пусть: непрерывна повсюду в области и на ее границе

2) производные от таковы, что составленный с их помощью криволинейный интеграл

определяет функцию непрерывную в

3) обозначим через а угол между осью и направлением касательной к проведенной в сторону возрастания дуги при обходе контура против часовой стрелки. Потребуем, чтобы на контуре области кроме неравенств (8.23) и (8.24), выполнялось условие

Если при этих гипотезах на то повсюду в области

При доказательстве этого утверждения прежде всего устанавливается, что функция если только она не является константой, не может принимать максимального значения как во внутренних точках области так и на дугах ее границы. Это максимальное значение достигается только на контуре и притом в той его точке где В частности, для подобласти такой вывод следует из того, что здесь функция удовлетворяет нелинейному уравнению эллиптического типа коэффициенты которого и ограничены в каждой точке полуплоскости Поэтому, в силу принципа максимума для эллиптических дифференциальных уравнений и известной леммы Зарембы — Хопфа, функция не может достигнуть локального максимума внутри а в точке на где максимальна, ее производная по направлению внутренней к нормали должна быть

отрицательна: С другой стороны, с помощью условия (8.39) доказывается, что в точке Это противоречие приводит к заключению, что повсюду в области и поэтому Заметим, что здесь, так же как и в сформулированной выше теореме единственности К. Моравец, на функцию при не накладывается каких-либо условий, ограничивающих протяженность гиперболической подобласти С другой стороны, условие звездности (8.37) контура здесь заменено требованием (8.39), которое, в частности, выполняется, если не имеет петель. Методом вспомогательных функций были получены также теоремы единственности для смешанной задачи с косой производной (8.276) [93], а также для первой «ударной» задачи Франкля (8.28) [21].

3. Теоремы единственности, вытекающие из экстремальных свойств решений смешанных краевых задач.

Для проблемы Трикоми (рис. 4) имеет место так называемый принцип экстремума [4], [38], [78], [86], состоящий в следующем. Будем считать, что в уравнении (8.15) коэффициент удовлетворяет условиям

Пусть, далее, функция является решением задачи (8.19), обращающимся в нуль на Тогда положительный максимум (отрицательный минимум) функции в достигается на линии Прямым следствием этого результата является

Теорема 8.4. При указанных выше ограничениях для задача (8.19) с краевыми функциями не может иметь более одного решения

Заметим, что все предположения этой теоремы выполняются для значения если Однако

в общем случае последнее из условий (8.40), , является даже более ограничительным требованием, чем критерий Франкля

Тем не менее по сравнению с другими приемами метод получения теорем единственности из принципа максимума-минимума имеет то преимущество, что в нем допускаются любые особенности первых производных от в точках и не вводится никаких существенных ограничений на линию

Принцип экстремума в случае удалось доказать и для смешанного аналога задачи Дирихле — Неймана, также для краевых проблем, сформулированных выше для областей рис. 9, а и 10, а [9]. Заметим, что принцип максимума-минимума находит применение и при доказательстве теорем существования (см. § 5).