ГЛАВА VII. ВЫРОЖДАЮЩИЕСЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

§ 1. Задача Коши для гиперболических уравнений с двумя независимыми переменными и с начальными данными на линии параболичности

1. Теорема существования и единственности. Рассмотрим уравнение

где

Уравнение (7.1) в полуплоскости принадлежит к гиперболическому типу с параболическим вырождением вдоль прямой

Пусть область, ограниченная отрезком оси и характеристиками и уравнения (7,1), выходящими соответственно из точек и пересекающимися в точке С,

Теорема 1.1 [26], Пусть: 1) функция имеет непрерывные производные до второго порядка в замкнутой области

2) - непрерывная и монотонно возрастающая функция, причем

3) и непрерывны и имеют непрерывные производные второго порядка по х в

Тогда существует единственное непрерывное в решение уравнения (7.1), имеющее непрерывные производные второго порядка в удовлетворяющее начальным данным

где заданные функции, имеющие производные третьего порядка, удовлетворяющие условию Липшица.

Решение непрерывно зависит от начальных данных, т. е. задача Коши (7.1), (7.2) корректна.

Если условие 4) теоремы 1.1 не выполнено, то задача Коши для уравнения (7.1) с начальными данными (7.2) на линии параболического вырождения, вообще говоря, может оказаться некорректной.

2. Случай

Условие 4) теоремы 1.1 в этом случае принимает следующий вид:

При задача Коши для уравнения (7.3) с начальными данными (7.2) поставлена корректно, так как условие (7.4) выполнено для любой ограниченной функции При и при невыполнении условия (7.4) задача Коши, вообще говоря, может оказаться некорректной [3], [21], [22]. При задача Коши корректна, если [25].

Приведенный ниже пример показывает, что для корректности задачи Коши для уравнения (7.3) с начальными данными (7.2) на линии параболического вырождения условие (7.4) не является необходимым.

Пример 1. Рассмотрим уравнение

где - вещественные числа.

Легко видно, что условие (7.4) не выполняется.

При решение уравнения (7.5), удовлетворяющее начальным данным (7.2), существует и дается формулой

где

Это решение единственно и непрерывно зависит от начальных данных. Таким образом, при задача Коши для уравнения (7.5) с начальными данными (7.2) на линии параболичности корректна.

3. Задача Коши с начальными данными на линии параболичности, являющейся одновременно характеристикой. Пусть дано уравнение

гиперболическое в полуплоскости

Его характеристики, ветви семейства парабол

имеют своей огибающей ось у — параболическую линию уравнения (7.7). Таким образом, линия параболического вырождения уравнения (7.7) — является одновременно его характеристикой. Это обстоятельство существенно отличает уравнение (7.7) от уравнения (7.1). Поведение решения уравнения (7.7) в окрестности линии параболического вырождения зависит от коэффициента при производной и показателя Решение и уравнения (7.7) и его производная могут, вообще говоря, обращаться в бесконечность на параболической линии. Поэтому для уравнения (7.7), кроме обычной задачи Коши с начальными данными на линии параболического вырождения, которая может оказаться неразрешимой, естественно исследовать задачу с видоизмененными начальными данными:

где

Пусть область, ограниченная отрезком оси х и характеристиками уравнения (7.7), выходящими соответственно из точек и пересекающимися в точке С.

Теорема 1.2. Если коэффициенты и свободный член уравнения (7.7) непрерывны и имеют непрерывные первые производные по х в замкнутой области и если то существует единственное непрерывное в решение уравнения (7.7), имеющее непрерывные производные второго порядка в удовлетворяющее начальным данным

где имеют непрерывные производные до третьего порядка включительно.

Решение задачи Коши (7.7), (7.10) непрерывно зависит от начальных данных.

Теорема 1.3. Пусть: 1) коэффициенты уравнения (7.7) непрерывны и имеют непрерывные производные первого порядка по х в замкнутой области D;

2) при равномерно относительно х;

3) где непрерывна и имеет непрерывную первую производную по

Тогда существует единственное непрерывное в решение уравнения (7.7), имеющее непрерывные производные второго порядка в и удовлетворяющее начальным данным

Теорема 1.4. Пусть коэффициенты и свободный член уравнения (7.7) удовлетворяют следующим условиям:

1) , с и непрерывны и имеют непрерывные производные первого порядка по х в замкнутой области при при непрерывна и имеет непрерывную первую производную по

Тогда существует единственное непрерывное в решение уравнения (7.7), имеющее непрерывные производные второго порядка в области и удовлетворяющее начальным данным

где имеют непрерывные производные до третьего порядка включительно.

Решение задачи Коши (7.7), (7.12) непрерывно зависит от начальных данных.

Пример 2. Рассмотрим уравнение

где а — постоянная. Решение уравнения (7.13), удовлетворяющее начальным данным (7.12), дается формулами:

(см. скан)

4. Метод Римана. Для решения задачи Коши для уравнений (7.3) и (7.7) с начальными данными на линии параболичности можно применить метод Римана [1], [5], [19] (см, также гл. II),

Пример 3. Найти в полуплоскости решение уравнения

удовлетворяющее начальным данным

где дважды непрерывно дифференцируемые функции,

Уравнение (7,14) в характеристических координатах

приводится к уравнению Эйлера — Дарбу

Начальные условия (7.15) принимают вид

Для уравнения (7,17) функция Римана известна:

где гипергеометрическая функция и

Обозначим через область, ограниченную отрезком прямой и характеристиками

Согласно формуле Римана имеем:

Принимая во внимание (7.18), из формулы (7.21) в пределе при получим:

Возвращаясь к старым переменным окончательно будем иметь: