§ 2. Классификация и канонические формы уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными

Преобразуем уравнение (1.3), введя новые независимые переменные

Мы предположим, что во всей рассматриваемой области переменных х и у якобиан преобразования не обращается в нуль:

Такое преобразование приводит к следующему уравнению:

где

1. Классификация линейных уравнений с двумя независимыми переменными. Эта классификация определяется знаком дискриминанта Будем говорить, что линейное уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными принадлежит в данной точке к гиперболическому, параболическому или эллиптическому типу, если в этой точке соответственно Уравнение принадлежит к тому или иному типу в данной области плоскости (х,у), если оно принадлежит к этому типу в каждой точке рассматриваемой области. Ниже мы будем считать, что в интересующей нас области тип уравнения сохраняется. Другие случаи будут рассмотрены в гл. VII и VIII.

Тип уравнения не меняется при любых преобразованиях переменных, при которых якобиан не обращается в нуль.

2. Канонические формы уравнений гиперболического типа. Выберем новые переменные так, чтобы в уравнении (1.15) коэффициенты обратились в нуль.

Из первого и третьего равенств (1.16) очевидно, что должны удовлетворять уравнению

которое распадается на два:

Решения этих уравнений определяются интегралами обыкновенных дифференциальных уравнений, называемых характеристическими:

Оба характеристических уравнения можно объединить в одно:

Решения уравнений (1.19) запишем в следующем виде:

и примем

Если , то якобиан преобразования (1.22) отличен от нуля. Интегральные кривые называются характеристиками рассматриваемого уравнения в частных производных. Уравнения гиперболического типа имеют два семейства различных и действительных характеристик.

Возвращаясь к уравнению (1.15), в котором теперь и деля его почленно на приведем его к следующей форме:

называемой первой канонической формой.

Если функция линейна, то и будет линейна, и уравнение (1.23) может быть записано в следующем виде:

В случае постоянных коэффициентов с можно еще больше упростить это уравнение, введя вместо и новую неизвестную определенную равенством

Тогда для получаем уравнение

где

Вводя новые независимые переменные

получим вторую каноническую форму уравнения

Эта форма характеризуется отсутствием смешанной производной. Если то получается так называемое волновое уравнение с двумя независимыми переменными

к этому уравнению приводит, например, исследование колебаний однородной струны (см. гл. II, § 4).

3. Каноническая форма уравнения параболического типа. Для уравнения параболического типа оба семейства характеристик сливаются, как это видно из (1.19). Положим в этом случае

где интеграл уравнения (1.17), а любая функция от х, у, независимая например В этом случае так как

Разделив уравнение (1.15) на С, получим каноническую форму параболического уравнения:

Если не зависит от и то получим обыкновенное дифференциальное уравнение, в котором является параметром.

В линейном случае уравнение (1.27) имеет вид

где известные функции от с и к]. Дальнейшее упрощение этого уравнения достигается подстановкой

Для получим уравнение

где

При постоянном получаем так называемое уравнение теплопроводности

при получается однородное уравнение теплопроводности

4. Каноническая форма уравнения эллиптического типа.

В случае уравнения эллиптического типа целью преобразования независимых переменных является обращение в нуль коэффициента при смешанной производной.

Преобразование легко выполняется, если -аналитические функции от х и у. Если 8 0, то коэффициенты

уравнений (1.18) при и становятся комплексными сопряженными. Но тогда, как известно, интегралы этих уравнений также можно считать комплексно сопряженными и представить их в виде

где вещественные функции.

Можно сказать, что в этом случае характеристики уравнения комплексные и сопряженные. Полагая

легко показать, что якобиан этого преобразования не равен нулю ни в одной точке.

В новых переменных уравнение приводится к следующей канонической форме:

Если мы получаем уравнение

называемое уравнением Лапласа.

Случай неаналитических коэффициентов гораздо сложнее. Будем подбирать переменные требуя, чтобы

или в раскрытом виде:

Эту систему уравнений можно преобразовать к следующей:

Полученные уравнения называются уравнениями Бельтрами. Исключая одну из неизвестных функций, например получим уравнение для 5:

Аналогично можно составить уравнение, определяющее

Известно, что уравнения Бельтрами имеют решение, если коэффициенты дважды дифференцируемые функции от х и у. Однако задача эффективного решения уравнений Бельтрами является довольно сложной.

5. Классификация нелинейных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными. Рассмотрим общее нелинейное уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными

или

где обозначено:

Положим

Выбрав решение уравнения вычислим в некоторой точке значения величин и составим дискриминант

Условимся, так же как и для линейного уравнения, называть уравнение соответственно гиперболическим, параболическим или эллиптическим в выбранной точке в случае, когда соответственно. Однако зависят не только от точки но и от функции и и ее производных, и поэтому нельзя определить знак в какой-либо точке, не зная и как функцию от х, у, т. е. не зная решений. Следовательно, тип нелинейного уравнения зависит от того, какое решение рассматривается, и может быть разным для разных решений.

Линии называются характеристиками нелинейного уравнения, если они являются интегральными кривыми характеристического уравнения

Вид характеристик также зависит от выбора решения.