§ 2. Задача Коши для гиперболических уравнений, вырождающихся на начальной плоскости

1. Рассмотрим уравнение

гиперболическое в полупространстве Будем уравнение (7.24) называть гиперболическим уравнением, вырождающимся на начальной плоскости, если при хотя бы одно из собственных чисел матрицы обращается в нуль.

Для уравнения (7.24) рассмотрим задачу Коши с начальными данными [12]

Предположим, что выходящий из точки характеристический коноид уравнения (7.24) регулярен вплоть до плоскости и вырезает из нее -мерную область В, так что боковая поверхность коноида вместе с областью В ограничивает в -мерном пространстве некоторую конусообразную область Обозначим через сечение плоскостью где а через часть заключенную между плоскостями и положим

Теорема 2.1. Пусть: 1) имеют непрерывные производные до порядка и имеют непрерывные производные до порядка из них производные вида ограничены в непрерывна в

2) начальные данные имеют непрерывные производные до порядка в В.

Пусть, далее, существует возрастающая непрерывно дифференцируемая функция где наименьшее собственное число матрицы Допустим еще, что любому достаточно малому можно привести в соответствие такое что в области квадратичная форма

неположительна. Тогда, если

где — постоянные, то существует единственное решение задачи Коши (7.24), (7.25), имеющее непрерывные вторые производные в где достаточно мало.

Задача Коши корректна.

Не ограничивая общности, можно считать Пусть есть решение следующей задачи Коши: удовлетворяет уравнению (7.24) в и при однородным начальным условиям. Решение задачи Коши для уравнения (7.24) с начальными данными

получается как предел последовательности равномерно сходящейся вместе с производными до второго порядка внутри

Теорема 2.2. Пусть выполнены сформулированные в теореме 2.1 ограничения на гладкость коэффициентов, на правую часть уравнения (7.24) и на начальные данные (7.25). Пусть, далее, существует возрастающая функция имеющая монотонную производную, и выполнено неравенство (7.26). Тогда, если для всех достаточно малых

где положительные постоянные, и

то существует единственное решение задачи Коши (7.24), (7.25), имеющее непрерывные производные в где достаточно мало.

Задача Коши корректна до порядка

2. Рассмотрим гиперболическое уравнение, вырождающееся при

где при коэффициенты с и свободный член определены в некоторой замкнутой области полупространства 0, прилегающей к области В на плоскости

Пусть в имеет место

Для уравнения (7.29) ставится задача Коши с начальными данными

Теорема 2.3 [2]. Пусть: 1) функция, непрерывная вместе с производными до порядка при ; при малых

где 4) — некоторые положительные постоянные, вещественное число;

2) коэффициенты имеют непрерывные производные до порядка имеют непрерывные производные до порядка

3) начальные данные имеют непрерывные производные до порядка .

Тогда, если то существует единственное решение задачи Коши (7.29), (7.31), имеющее непрерывные вторые производные по пространственным координатам при и по времени при 0. При непрерывно выражение Задача Коши корректна.

При задача Коши для уравнения (7.29) с начальными данными (7.31), вообще говоря, может оказаться некорректной.