§ 3. Разделение переменных в трехмерном уравнении

1. Область — прямой параллелепипед

Имеем

Первая краевая задача. Собственные значения:

Собственные функции:

Вторая краевая задача. Собственные значения:

Собственные функции:

Третья краевая задача, кусочно постоянна и равна

Собственные значения;

где положительные корни уравнений:

Собственные функции:

2. Круговой цилиндр В круговых цилиндрических координатах уравнение (4.1) принимает вид

Полагаем

Разделяем переменные и полагаем

Первая краевая задача. В этом случае

здесь корни уравнения Собственные значения:

Собственные функции:

Собственные функции, обладающие осевой симметрией:

Вторая краевая задача:

где корни уравнения Собственные значения:

Собственные функции:

Существует собственное значение и соответствующая собственная функция, равная 1. Квадрат ее нормы равен объёму цилиндра:

Третья краевая задача:

Собственные значения:

положительные корни уравнения

корни уравнения

Собственные функции:

3. Полый круговой цилиндр. Область изменения переменных:

Первая краевая задача. Собственные значения:

Собственные функции:

корни уравнения

Вторая краевая задача. В выражении для собственных функций в первой краевой задаче следует заменить на

Уравнение для примет вид

Изменится также выражение для квадрата нормы. Будут существовать нулевое собственное значение и соответствующая собственная функция, равная единице.

4. Сфера. Введем сферические координаты (см. гл. III, § 1). Уравнение (4.1) принимает следующий вид:

Полагаем Разделяя переменные, получим:

Обозначая константу разделения через получим следующие уравнения для и У:

Решения первого уравнения, периодические по с периодом и конечные при всех значениях (от до называются сферическими функциями Лежандра.

Продолжим разделение переменных, полагая Уравнение для из (4.17) примет вид

Требование периодичности по дает

Уравнение для преобразуем, введя новую переменную После преобразований получим:

Известно, что решения, конечные на отрезке существуют только при где Эти

нечные решения называются присоединенными функциями Лежандра порядка обозначаются через (иногда ) и связаны простой зависимостью с полиномами Лежандра:

где полином Лежандра степени

Уравнение уравнение для присоединенных функций Лежандра порядка

Выражение для сферических функций Лежандра находим, перемножая и Ф:

Уравнение для легко приводится к уравнению Бесселя подстановкой

Действительно, уравнение, определяющее X, будет следующим:

Его ограниченным решением в области, содержащей начало координат, будет следовательно,

легко доказать, что при остается ограниченным. Значения X определяются из граничных условий.

Первая краевая задача. Граничное условие дает Обозначая корни уравнения через получим собственные значения

Для собственных функций получаем следующие выражения:

Собственными функциями, обладающими осевой симметрией (не зависящими от будут

Собственными функциями, обладающими шаровой симметрией, будут

Квадрат нормы:

Вторая краевая задача. Граничным условием будет

Обозначая через x, придем к уравнению

Его корни обозначаем через тогда Для собственных функций сохраняется выражение (4.18), но изменяются, конечно, значения

Существует нулевое собственное значение и соответствующая собственная функция, равная единице. Квадрат нормы:

Третья краевая задача (Л постоянна). Значения определяются уравнением

Выражения для собственных значений и собственных функций сохраняются из второй краевой задачи. Для квадрата

нормы можно воспользоваться выражением (4.19), заменив последний множитель на