ГЛАВА IV. УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА

§ 1. Общие сведения

В этой главе рассматриваются внутренние краевые задачи для следующих уравнений:

— однородное уравнение Гельмгольца.

— неоднородное уравнение Гельмгольца (в двумерном случае

Рассматриваются следующие три краевые задачи: Первая краевая задача. На границе 5 области

Вторая краевая задача. На границе 5 области

— производная по внешней нормали.

Третья краевая задача. На границе области

неотрицательная функция координат. Чаще всего кусочно постоянна. В смешанных задачах на разных частях границы заданы различные условия. Если равны нулю, то соответствующие граничные условия называются однородными. Однородной краевой задачей называем краевую задачу

с однородными краевыми условиями для однородных уравнений.

Значения параметра X, при которых существуют нетривиальные (т. е. отличные от тождественного нуля) решения однородной краевой задачи, называются собственными значениями или собственными числами, а сами решения — собственными функциями данной краевой задачи.

В случае конечной области множество собственных значений данной краевой задачи образует так называемый спектр данной задачи.

1. Формула Грина:

Здесь собственные функции одной из рассматриваемых краевых задач, соответствующие собственные числа, внешняя нормаль к поверхности ограничивающей область которая предполагается конечной.

2. Из формулы Грина вытекает свойство ортогональности собственных функций для трех поставленных краевых задач:

3. Собственные функции определены с точностью до постоянного множителя и могут быть нормированы различными способами, в частности требованием

В дальнейшем, если не оговорено противное, под нормированными функциями предполагаем функции, удовлетворяющие равенству (4.8). Величина называется нормой и обозначается через

4. Все собственные значения положительны, за исключением собственных значений второй краевой задачи, для которой существует

Соответствующая собственная функция

5. Наименьшее собственное значение для первой краевой задачи есть минимум функционала

при условии

в классе непрерывно дифференцируемых функций, обращающихся в нуль на границе. Этот минимум реализуется первой нормированной собственной функцией.

Собственные числа каждой краевой задачи всегда будем располагать в порядке возрастания. Тогда собственное число первой краевой задачи есть минимум функционала (4.9) при условии (4.10) и дополнительных условиях

как и в п. 5, предполагается, что функции сравнения обращаются в нуль на границе области.

7. Пусть первые собственных чисел второй краевой задачи, соответствующие им собственные функции; собственное число второй краевой задачи равно минимуму функционала (4.9) при условиях (4.10) и (4.11), но на более широком классе функций сравнения: эти последние предполагаются непрерывно дифференцируемыми в замкнутой области, но не должны удовлетворять никаким краевым условиям. Таким образом, краевые условия второй задачи являются естественными.

8. Сказанное в п. 7 переносится на третью краевую задачу с одним-единственным изменением: собственные числа третьей краевой задачи получаются как минимумы не функционала (4.9), а функционала

где

9. Собственные значения первой краевой задачи не возрастают при расширении области.

10. Собственные числа стремятся к бесконечности с возрастанием их номера.

11. Собственные числа третьей краевой задачи непрерывно зависят от и возрастают вместе с

12. Справедливы следующие асимптотические оценки:

в случае трехмерной области

в случае двумерной области

здесь — площадь двумерной области, объем трехмерной области.

13. Всякая дважды непрерывно дифференцируемая функция удовлетворяющая граничным условиям краевой задачи, может быть разложена в равномерно сходящийся ряд по собственным функциям этой краевой задачи:

Если суммируема с квадратом, то ряд сходится в среднем.