§ 3. Смешанная задача для гиперболических уравнений, вырождающихся на начальной плоскости

1. Постановка задачи. Определение обобщенного решения. Пусть в цилиндрической области где конечная область в -мерном евклидовом пространстве с границей дано гиперболическое уравнение, вырождающееся при [14]:

где

положительные постоянные.

Для уравнения (7.32) ставится смешанная задача: определить в цилиндре решение этого уравнения, удовлетворяющее однородному граничному условию

и начальным данным

Обозначим через многообразие всех непрерывных в функций имеющих непрерывные первые и ограниченные вторые производные и обращающихся в нуль в граничной полоске (своей для каждой функции) цилиндрической области исключая верхнее основание. Введем в этом многообразии скалярное произведение по формуле

Замыкая в метрике (7.36), получим многообразие 2 функций, имеющих обобщенные первые производные по в любой области принимающих в среднем нулевые граничные значения и обращающихся в среднем в пуль при

Под решением (обобщенным) смешанной задачи будем понимать такую функцию и что для любой функции вида где функция такова, что

выполняется интегральное тождество

Здесь и в дальнейшем

2. Существование и единственность обобщенного решения.

Теорема 3.1. Пусть: 1) непрерывны в и имеют ограниченные первые производные по при 0;

2) , непрерывны в — любое положительное число), причем в окрестности для каждого где при

3) непрерывна в причем с

Пусть, далее,

положительные постоянные).

Тогда, если имеет конечный интеграл

то обобщенное решение и смешанной задачи для уравнения (7.32) существует, причем для и справедлива оценка

Если, кроме того,

то обобщенное решение единственно в классе функций и

Условия (7.38) и (7.40) носят характер ограничений на поведение коэффициентов при Условия 2),

в частности, означают, что при могут быть неограниченными при а при должны стремиться к нулю.

3. Дифференциальные свойства решения.

Теорема 3.2. Пусть: 1) непрерывны в и имеют ограниченные производные при

2) непрерывны вместе со своими первыми производными по причем при

Пусть, далее,

Тогда существуют суммируемые с квадратом по грачем справедлива оценка

где

Имеют место аналогичные оценки для норм производных по более высокого порядка от решения и смешанной задачи.

Теорема 3.3. Пусть: 1) решение смешанной задачи, допускающее производные вида причем они имеют конечную норму по любой области

2) коэффициенты имеют в непрерывные производные вида

3) и имеют в непрерывные производные вида

а допускает производные вида

суммируемые в квадрате внутри Тогда решение имеет внутри все производные до порядка, причем справедлива оценка

Пользуясь теоремами вложения Соболева [18], можно сформулировать достаточные условия на коэффициенты уравнения (7.32) и на начальные и граничные значения, при которых все производные решения входящие в уравнение (7.32), существуют и непрерывны в при любом

Пусть, например, в уравнении (7.32) коэффициенты непрерывны в и имеют ограниченные производные при непрерывны в и имеют ограниченные производные по до порядка включительно, причем при

и

Пусть, далее, выполнены условия (7.41) — (7.43) и им аналогичные, вплоть до условия

Тогда существуют производные

суммируемые с квадратом по вплоть до

Если, кроме того, допускают в непрерывные производные вида имеют в непрерывные производные вида

свободный член допускает производные вида то решение имеет внутри все производные до порядка, суммируемые с квадратом.

При этом непрерывны в т. е. обобщенное решение смешанной задачи будет классическим решением.

Смешанная задача для уравнения (7.32) с неоднородными начальными и граничными условиями сводится к рассмотренному случаю однородных условий.

4. Рассмотрим теперь уравнение

где при Коэффициенты и свободный член определены в цилиндрической области Пусть в

Для уравнения (7.45) ставится смешанная задача, сформулированная в п. 1 настоящего параграфа.

Теорема 3.4 [3]. Пусть: 1) функция, непрерывная вместе со своей производной при 0; при малых

где — некоторые положительные постоянные, вещественное число;

2) коэффициенты непрерывны в свободный член непрерывно дифференцируем.

Тогда, если существует обобщенное решение смешанной задачи, имеющее суммируемые с квадратом первые производные.

Если, кроме того, имеют ограниченные производные второго порядка по пространственным координатам имеют ограниченные производные вида в то обобщенное решение единственно.