§ 4. Основные краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона

1. Внутренние краевые задачи.

а) Первая краевая задача, или задача Дирихле. Требуется найти функцию, которая внутри области удовлетворяет уравнению Лапласа (Пуассона), непрерывна в замкнутой области, включая границу и принимает на границе заданные значения

б) Вторая краевая задача, или задача Неймана. По-прежнему разыскивается функция, непрерывная внутри области и удовлетворяющая в ней уравнению Лапласа или Пуассона, а на границе этой области — краевому условию

Если искомая функция удовлетворяет уравнению Лапласа, то входящая в краевое условие данная функция необходимо должна удовлетворять равенству (3.21). Если искомая функция должна удовлетворять уравнению Пуассона (3.22), то функция должна удовлетворять равенству (3.24).

в) Третья краевая задача отличается от второй тем, что условие (3.26) заменяется краевым условием (3.19). Условия (3.21) и (3.22) перестают быть необходимыми.

Физический смысл трех краевых задач проиллюстрируем на задаче о стационарном распределении температур.

В задаче Дирихле задаются температуры на границе тела. В задаче Неймана заданы тепловые потоки через границу, пропорциональные физический смысл условия (3.21) таков: для сохранения стационарного распределения температур суммарный поток тепловой энергии, протекающей через границу тела, должен быть равен нулю. Условие (3.22) есть условие равенства энергии, выделяемой источниками, распределенными в теле, и энергии, выходящей через границу тела.

В третьей краевой задаче рассматриваются условия теплообмена с окружающей средой, температура которой где коэффициент внешней теплопроводности, деленный на теплоемкость.

г) Смешанная краевая задача. На разных участках границы задаются условия различных типов.

2. Внешние краевые задачи для уравнения Лапласа.

От внутренних эти задачи отличаются не характером краевых условий, а только тем, что искомая функция должна быть гармонична в области, расположенной вне одной или нескольких замкнутых поверхностей, и должна удовлетворять неравенству (3.1); для трехмерного пространства это условие принимает вид (3.2), а на плоскости переходит в условие ограниченности искомой функции на бесконечности.

3. Корректность краевых задач. Первая и третья краевые задачи имеют единственное решение; если граница области удовлетворяет условиям Ляпунова (см. § 8 настоящей главы), то решение как той, так и другой задачи существует и непрерывно зависит от краевых данных.

Несколько сложнее обстоит дело со второй краевой задачей (задачей Неймана). Сначала скажем о внутренней задаче для уравнения Лапласа. Если краевая функция в условии (3.26) удовлетворяет равенству (3.21), а граница области удовлетворяет тем же условиям Ляпунова, то решение задачи Неймана существует, если краевая функция непрерывна; однако это решение определено с точностью до произвольного постоянного слагаемого и потому не единственно. Ясно, что в этом случае не приходится говорить о непрерывной зависимости решения от краевой функции. В самом деле, можно сколь угодно мало изменить краевую функцию, но так, чтобы она перестала удовлетворять условию (3.21), и тогда решение перестанет существовать. С другой стороны, если решение все же существует, то, прибавив к нему достаточно большую постоянную, мы добьемся того, что двум сколь угодно близким краевым функциям будут соответствовать сколь угодно далекие решения задач Неймана.

Тем не менее непрерывная зависимость решения и здесь будет иметь место, если: 1) малые изменения краевой

функции таковы, что они не нарушают равенства (3.21); 2) произвольное постоянное слагаемое, с точностью до которого определено решение задачи Неймана, выбрано, например, так, чтобы решение удовлетворяло равенству

в таком случае решение будет единственным и будет непрерывно зависеть от функции

Для внешней задачи Неймана на плоскости остается в силе все только что сказанное относительно внутренней задачи; для разрешимости внешней задачи Неймана в пространстве переменных условие (3.21) не является необходимым; решение существует при любой непрерывной функции непрерывно зависит от и единственно.

4. Задача Дирихле с разрывными краевыми условиями («обобщенная» задача Дирихле). Требование непрерывности краевых значений слишком стеснительно для приложений. Его можно существенно ослабить. Так, в плоском случае будем считать, что граничная функция непрерывна на границе всюду, кроме конечного числа точек, где она имеет только разрывы первого рода. От решения потребуем, чтобы оно было ограниченным и непрерывным в замкнутой области всюду, за исключением точек разрыва заданной граничной функции.

«Обобщенную» задачу Дирихле для плоского случая можно свести к обычной задаче. Пусть предельные значения граничной функции при при обходе контура соответственно в положительном и отрицательном направлении, Обозначим через а угол между двумя касательными, проведенными в точке в противоположных направлениях. Если точка не угловая, то Функция — где координаты точки будет гармонической функцией и непрерывной всюду, кроме точки при переходе через эту точку вдоль контура она испытывает скачок, равный

При приближении к этой точке изнутри по различным направлениям она принимает значения, заключенные между — Функция будет уже непрерывна на контуре.

Мы получим решение «обобщенной» задачи Дирихле, положив

где - решение задачи Дирихле, принимающее на границе непрерывное значение

При приближении к точке разрыва граничных условий по различным направлениям решение обобщенной задачи Дирихле может стремиться к любому пределу, заключенному между

В случае нескольких точек разрыва полагаем

где удовлетворяет на границе условию

5. Приведение двумерной задачи Неймана к задаче Дирихле. Введем функцию связанную с гармонической функцией и уравнениями

(Эти уравнения называются уравнениями Коши — Римана, иногда уравнениями Даламбера — Эйлера)

Легко проверить дифференцированием первого уравнения по у и второго по х, что если функция имеет производные второго порядка по х и у, то она будет гармонической, т. е.

Если функция известна, то функция и находится интегрированием полного дифференциала (с точностью до постоянного слагаемого)

В силу уравнений Коши — Римана

отсюда на контуре Итак, для мы получаем задачу Дирихле. Решив ее и определив функцию находим функцию и в квадратурах по формуле (3.27). Изложенный прием пригоден, если функция - гармонична в односвязной области.