§ 4. Волновое уравнение

1. Задача Коши. Волновым уравнением называется уравнение

Дифференциальный оператор

называется оператором Лоренца.

Задача Коши (см. гл. I, § 4) состоит в нахождении решения уравнения (2.82) по начальным условиям

Фундаментальным решением задачи Коши называется решение задачи

Фундаментальное решение задачи Коши для нечетного имеет вид [33]

где есть - функция Дирака [7]. В случае четного

Здесь через обозначена обобщенная функция, которая является аналитическим продолжением обычной функции, определенной при и равной когда и нулю, когда [7].

Решение задачи Коши (2.84) можно записать через фундаментальное решение задачи Коши в виде

Интегралы (2.88) понимаются в следующем смысле [7]: если нечетное, то заменяется через затем интеграл аналитически продолжается в точку В случае четного интеграл понимается в смысле «конечной части» по Адамару [15], [36] или в смысле аналитического продолжения по параметру [39].

Интегралы (2.88) можно выразить в терминах обычных интегралов. При этом получается [15],

Здесь усреднение функции но сфере радиуса с центром в точке

площадь -мерной сферы радиуса единица, равная где функция Эйлера; интегрирование ведется по

Для того чтобы функция и, определяемая формулой (2.89), имела две непрерывные производные, достаточно, чтобы имели производных, а имела производных.

При формула (2.89) сводится к формулам Пуассона:

при

2. Точечные источники колебаний [23, т. II], [24]. Точечным источником колебаний интенсивности называется предел решений и, при задач

где

и не меняет знака при причем

(dx - элемент объема).

Предельный переход дает:

при

при

3. Формула Кирхгофа [23, т. II], [28]. Пусть решение уравнения

трехмерная область с гладкой границей) — функция, непрерывная со вторыми производными в открытой области и с первыми производными в замкнутой области Тогда

Здесь — граница интегрирование проводится по