§ 2.2. Образование замкнутого контура интегрирования. Применение теоремы о вычетах

Добавлением к прямой дуги бесконечно большого радиуса можно, не изменяя величины интеграла (2.5), образовать замкнутый контур интегрирования.

Это позволяет использовать преимущества методов интегрирования на комплексной плоскости. Правила, определяющие способ замыкания контура интегрирования, вытекают из требования, чтобы интеграл от заданной функции, взятый по добавленному участку пути (дуга на рис. 2.2), стремился к нулю при т. е. чтобы

В теории функций комплексного переменного доказывается (лемма Жордана), что для этого требуется одновременное выполнение следующих двух условий:

1. Модуль стремится к нулю (равномерно относительно при

2. Вещественная часть показателя степени в множителе должна быть отрицательной, т. е.

Первое условие выполняется (за редким исключением, как например, в случае единичного импульса, когда для всех встречающихся в приложениях функций.

Рис. 2.2. Образование замкнутого контура интегрирования путём добавления дуги при

Из второго условия вытекает, что если функция только при то положительным значениям должен отвечать контур, лежащий в левой полуплоскости (при отрицательных а), а отрицательным контур в правой полуплоскости (при положительных

В первом случае, т. е. при проведении дуги в левой полуплоскости (рис. 2.3а), контур интегрирования охватывает все полюсы подинтегральной функции (лежащие левее прямой в соответствии с теорией вычетов 2), интеграл (2.5) определяется как

где — сумма вычетов в полюсах подинтегральной функции.

При проведении дуги в правой полуплоскости, т. е. при (рис. 2.36) полюсы функции оказываются вне контура интегрирования и, в соответствии с теоремой Коши, интеграл по замкнутому контуру равен нулю.

Таким образом, в зависимости от способа замыкания контура интегрирования, получим: при

при

Напомним важное свойство контурных интегралов: величина интеграла не зависит от формы замкнутого контура, по которому производится интегрирование, если только особые точки подинтегральной функции остаются внутри контура. На основании этого свойства контур, образованный добавлением дуги бесконечно большого радиуса (рис. 2,2) к прямой можно произвольно деформировать, при соблюдении условия, что все полюсы, расположенные левее прямой остаются внутри контура.

Рис. 2.3. Замыкание контура интегрирования для представления: а) функции при функции при

Итак, вычисление интеграла (2.5) сводится к определению вычетов в полюсах подинтегральной функции.

Представим подинтегральную функцию выражения (2.5) в виде:

Тогда вычет функции имеющей в точке простой полюс (первой кратности), определяется формулой

Если функция имеет в точке полюс кратности целое положительное число), то

Методику применения контурных интегралов для представления различных функций, играющих большую роль в теории переходных процессов, удобнее всего пояснить на примерах,

1. Единичный скачок

В соответствии с ф-лой (2.4) изображение для функции, заданной условием при определяется соотношением:

Обратное преобразование (2.5) даёт:

Этот же результат можно получить подстановкой в выражение (1.28).

Подинтегральная функция в выражении (2.15) имеет простой полюс в точке Вычет в этом полюсе согласно равен

Следовательно, при

При контур, образуемый прямой и полуокружностью (рис. 2.36), проведённой в правой полуплоскости, не содержит полюсов.

Таким образом, при

2. Единичный импульс

В соответствии с определением (1.33) изображение для единичного импульса выражается в виде:

3. Гармоническая функция

Используя подстановку

и применяя выражение (2.4), находим

Это же выражение может быть записано в несколько иной форме, которая получается заменой на :

Следовательно,

Подинтегральная функция имеет простые полюсы в точках Производная знаменателя

Отсюда по находим

Следовательно, при интегрирования — против часовой стрелки),

Рис. 2.4. Замена контура интегрирования (а), двумя контурами (б)

Контур интегрирования для изображён на рис. 2.4а Замена этого контура двумя контурами, охватывающими полюсы показана на рис. 2.46. В соответствии с теоремой Коши оба рисунка эквивалентны и интеграл равен сумме вычетов в полюсах При

причём интегрирование производится по часовой стрелке.

В частном случае для

получим

Если для

будем иметь

Для практических расчётов иногда удобно представлять синусоидальную эдс в виде контурного интеграла от функции, имеющей полюс только в точке

Это легко сделать, если учесть, что по теореме о вычетах

или

Отсюда следует, что

Ясно также, что

Переходя в выражениях (2.21) и (2.22) к новой переменной получим

Из сравнения и (2.22) с ф-лой (2.15) видно, что множитель соответствующий единичному скачку.

представляет собой огибающую для высокочастотной функции или

Подобным же образом можно составить контурные интегралы и для других функций времени. Подробные таблицы изображений для большого числа функций приведены в литературе по операционному исчислению. Наиболее полная таблица приведена в книге Диткина В. А. и Кузнецова П. И. [32].

Случай кратных полюсов иллюстрируется ниже на примерах, относящихся к действию электродвижущих сил вида (2.15) и (2.18) на многокаскадные усилители.

Отметим в заключение, что по аналогии с выражением (1.23) нетрудно найти прямое и обратное преобразования Лапласа для функции запаздывающей на время относительно

Применение к даёт

Произведя замену переменной I на получим

Итак, сдвиг (запаздывание) функции на требует умножения изображения на

Очевидно далее, что выражение

определяет функцию так как в пределах промежутка условие (2.7) требует проведения контура интегрирования в левой полуплоскости (рис. 2.36), где особых точек нет, и, следовательно, выражение (2.23) обращается в нуль.