§ 5.8. Прохождение нормально распределённого сигнала через линейные системы

Особенностью стационарного вероятностного процесса с нормальным распределением (для величины является сохранение закона распределения при любом линейном преобразовании случайной величины Это означает, что от формы частотной характеристики линейной цепи зависит лишь энергетический спектр и функция корреляции выходного сигнала. Плотность вероятности для выходной функции определяется, как и для сигнала на входе, выражением (5.16), причём дисперсия связана с соотношением вида (5.21). Действительно, если спектр нормально распределённого сигнала разбить на большое число очень узких полос, то соответствующие парциальным спектрам напряжения представят собой не только нормально распределённые как при любом распределении нерегулярного сигнала но и взаимно независимые нерегулярные процессы. При прохождении сигнала через линейную цепь с произвольным коэффициентом передачи соотношение между и т. д. или вернее между их дисперсиями может существенно измениться, однако взаимная их независимость не нарушается.

В соответствии с условиями применимости центральной предельной теоремы (см. § 5.2) распределение суммы изменённых по величине случайных величин остаётся нормальным.

Итак, исследование влияния линейной цепи на параметры выходного сигнала при нормальном распределении сводится к нахождению дисперсии о! и функции корреляции

Рассмотрим прохождение нормально распределённого сигнала через дифференцирующие и интегрирующие линейные, цепи.

Будем иметь в виду цепь, содержащую и положим условие (2.47) выполненным для наивысшей частоты в спектре сигнала Представив входной сигнал с помощью ф-лы (5.23) в виде:

и в соответствии с ф-лой (2.48), для коэффициента передачи: цепи можем написать следующее выражение для сигнала на выходе цепи:

Найдём связь между функциями корреляции для входного и выходного напряжений.

Для напряжения в соответствии с ф-лой (5.41) имеем

где в соответствии с ф-лой (5.26)

Амплитуды гармонических составляющих напряжения отличаются от амплитуд в ф-ле (5.52) множителем

Следовательно,

Отсюда

Дисперсия выходного напряжения:

Нетрудно видеть, что может быть получено из двукратным дифференцированием по и переменой знака, т. е.

Этот результат можно обобщить на операцию дифференцирования любой функции Если функции соответствует функция корреляции то функции соответствует функция корреляции:

Дисперсия производной очевидно, равна

Распределение для производной, как и для исходной функции, остаётся нормальным.

Подобным же образом легко показать, что при интегрировании функции с энергетическим спектром и функцией корреляции для существуют соотношения:

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 5

(см. скан)