Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 3,2. Система линейных уравнений для пассивной цепи
Рассмотрение основных положений теории цепей начнём с составления общего выражения для коэффициента передачи, пригодного для произвольного числа контуров, образующих сложную линейную систему.
В общем случае каждый
контур, помимо элементов
входящих только в данный контур, может содержать элементы
общие для двух контуров:
Индуктивность
емкость
и сопротивление
представляют собой, следовательно, элементы связи контура
с контуром
Каждый из контуров может содержать источник электродвижущей силы
частоты
одинаковой для всех источников.
Результирующие величины индуктивности, емкости и сопротивления, получаемые при обходе
контура и при условии, что все остальные контуры разорваны, обозначим через
Комплексное сопротивление подобного контура (при частоте
определяется выражением:
Полное сопротивление связи для контуров
очевидно, равно
При наличии взаимоиндукции между контурами
правая часть выражения (3.2) должна быть дополнена слагаемым
Применяя закон Кирхгофа для напряжений, получаем следующую систему уравнений:
где
комплексные амплитуды тока и эдс в контуре,
число контуров.
За положительное направление контурных токов
принимается какое-либо определённое, например, совпадающее с направлением вращения часовой стрелки.
Сопротивления
берутся со знаком плюс, если по ним проходят токи, совпадающие по направлению с основным током данного
контура, и минус — в противном случае.
Задача заключается в определении токов по известным сопротивлениям
и электродвижущим силам
В общем виде эта задача решается с помощью матричной алгебры.
Системе ур-ний (3.3) соответствует определитель, составленный из коэффициентов
Имея в, виду определение тока
в контуре
умножим первое уравнение в системе (3.3) на алгебраическое дополнение
к элементу
в определителе (3.4), второе уравнение — на дополнение
к элементу
Суммируя левые и правые части, получим
В теории определителей доказывается, что суммы, являющиеся коэффициентами при
в ур-нии (3.5) и составленные из слагаемых вида
обращаются в нуль при
Следовательно, выражение (3.5) принимает более простой вид:
Коэффициент при
представляющий собой разложение определителя по
столбцу, равен самому определителю
Таким образом, правая часть выражения (3.6) отличается от коэффициента при
в выражении (3.5) тем, что все
заменены соответственно на
Иными словами, правая часть выражения (3.6) отличается от
тем, что разложение ведётся по
столбцу определителя, получаемого из определителя А заменой столбца
на столбец
Обозначив этот определитель через
получим для него следующую запись:
На основании выражений (3.6) и (3.7) получаем
Если электродвижущая сила вводится только в один контур, например,
определение тока в
контуре значительно упрощается, поскольку в правой части выражения (3.6) остаётся одно слагаемое
В этом случае
В матричной алгебре доказывается, что алгебраическое дополнение
к элементу
стоящему на пересечении
строки и
столбца, равно минору
элемента
в определителе А, причём для чётного
знак минора сохраняется, а для нечётного
знак меняется. Минор в свою очередь получается из определителя
вычёркиванием строки
и столбца
на пересечении которых стоит элемент
Выражение (3.9) поэтому может быть записано в несколько иной форме:
В частном случае
когда система контуров возбуждается со стороны первого контура и ищется ток 119 будем иметь
Отсюда следует, что входная проводимость любой пассивной цепи может быть представлена в виде
где
определяется ф-лой (3.4), а минор
Выражение (3.11) полезно для исследования свойств двухполюсников. При использовании цепи в качестве четырёхполюсника соотношение между входным напряжением и выходным током может быть получено подстановкой
в выражение (3.9), где
порядковый номер выходного контура:
Отсюда коэффициент передачи четырёхполюсника, понимаемый как отношение тока
в нагрузочном сопротивлении к входному напряжению
и имеющий размерность проводимости, определяется выражением:
В данном случае минор:
Умножением тока
на сопротивление элемента, с которого снимается выходное напряжение в
контуре, можно получить коэффициент передачи У в виде безразмерного отношения выходного напряжения к входному:
Напомним, что здесь
комплексные амплитуды выходного и входного напряжений.