§ 3,2. Система линейных уравнений для пассивной цепи

Рассмотрение основных положений теории цепей начнём с составления общего выражения для коэффициента передачи, пригодного для произвольного числа контуров, образующих сложную линейную систему.

В общем случае каждый контур, помимо элементов входящих только в данный контур, может содержать элементы общие для двух контуров: Индуктивность емкость и сопротивление представляют собой, следовательно, элементы связи контура с контуром Каждый из контуров может содержать источник электродвижущей силы частоты одинаковой для всех источников.

Результирующие величины индуктивности, емкости и сопротивления, получаемые при обходе контура и при условии, что все остальные контуры разорваны, обозначим через

Комплексное сопротивление подобного контура (при частоте определяется выражением:

Полное сопротивление связи для контуров очевидно, равно

При наличии взаимоиндукции между контурами правая часть выражения (3.2) должна быть дополнена слагаемым

Применяя закон Кирхгофа для напряжений, получаем следующую систему уравнений:

где комплексные амплитуды тока и эдс в контуре, число контуров.

За положительное направление контурных токов принимается какое-либо определённое, например, совпадающее с направлением вращения часовой стрелки.

Сопротивления берутся со знаком плюс, если по ним проходят токи, совпадающие по направлению с основным током данного контура, и минус — в противном случае.

Задача заключается в определении токов по известным сопротивлениям и электродвижущим силам В общем виде эта задача решается с помощью матричной алгебры.

Системе ур-ний (3.3) соответствует определитель, составленный из коэффициентов

Имея в, виду определение тока в контуре умножим первое уравнение в системе (3.3) на алгебраическое дополнение к элементу в определителе (3.4), второе уравнение — на дополнение к элементу

Суммируя левые и правые части, получим

В теории определителей доказывается, что суммы, являющиеся коэффициентами при в ур-нии (3.5) и составленные из слагаемых вида обращаются в нуль при Следовательно, выражение (3.5) принимает более простой вид:

Коэффициент при представляющий собой разложение определителя по столбцу, равен самому определителю

Таким образом, правая часть выражения (3.6) отличается от коэффициента при в выражении (3.5) тем, что все заменены соответственно на Иными словами, правая часть выражения (3.6) отличается от тем, что разложение ведётся по столбцу определителя, получаемого из определителя А заменой столбца на столбец

Обозначив этот определитель через получим для него следующую запись:

На основании выражений (3.6) и (3.7) получаем

Если электродвижущая сила вводится только в один контур, например, определение тока в контуре значительно упрощается, поскольку в правой части выражения (3.6) остаётся одно слагаемое В этом случае

В матричной алгебре доказывается, что алгебраическое дополнение к элементу стоящему на пересечении строки и столбца, равно минору элемента в определителе А, причём для чётного знак минора сохраняется, а для нечётного знак меняется. Минор в свою очередь получается из определителя вычёркиванием строки и столбца на пересечении которых стоит элемент Выражение (3.9) поэтому может быть записано в несколько иной форме:

В частном случае когда система контуров возбуждается со стороны первого контура и ищется ток 119 будем иметь

Отсюда следует, что входная проводимость любой пассивной цепи может быть представлена в виде

где определяется ф-лой (3.4), а минор

Выражение (3.11) полезно для исследования свойств двухполюсников. При использовании цепи в качестве четырёхполюсника соотношение между входным напряжением и выходным током может быть получено подстановкой в выражение (3.9), где порядковый номер выходного контура:

Отсюда коэффициент передачи четырёхполюсника, понимаемый как отношение тока в нагрузочном сопротивлении к входному напряжению и имеющий размерность проводимости, определяется выражением:

В данном случае минор:

Умножением тока на сопротивление элемента, с которого снимается выходное напряжение в контуре, можно получить коэффициент передачи У в виде безразмерного отношения выходного напряжения к входному:

Напомним, что здесь комплексные амплитуды выходного и входного напряжений.