§ 6.8. Радиотелефонная частотная модуляция. Исследование общего решения

Обращаясь к выражению (6.59), отметим, что фигурирующая в показателе степени при величина

может рассматриваться как квадрат эффективного индекса фазовой модуляции.

Перепишем выражение (6.59) в новых обозначениях:

Здесь коэффициент корреляции для определяется общим выражением:

где выражаются ф-лами (6.52) и (6.53).

Известно, что коэффициент корреляции может принимать значения в пределах причём

Для нерегулярных сигналов, не содержащих дискретных периодических составляющих, с увеличением как правило, затухает и тем быстрее, чем шире полоса частот, в которой энергетический спектр отличен от нуля.

Из сказанного следует, что при изменении интервала корреляции х от до разность нарастает от до 1, причём это нарастание может, конечно, иметь колебательный характер. Протяжённость участка изменения которую следует принимать во внимание при вычислении интеграла (6.63), зависит от величины Можно выделить три характерных режима модуляции: и 1. В первом случае при достаточно больших эффективных индексах модуляции подинтегральная функция в выражении (6.63) существенно больше нуля (по абсолютной величине) только при малых значениях Это позволяет упростить интеграл путём приближённого представления разности в виде явной функции от Во втором случае, т. е. при основное значение приобретает характер изменения разности при больших значениях Это также позволяет осуществить интегрирование в конечном виде. В промежуточных случаях, т. е. при индексах соизмеримых с единицей, вычисление интеграла (6.63) усложняется и приходится прибегать к приёмам численного интегрирования.

Задача решается просто при Это условие равносильно допущению, что спектр модулирующего сигнала узок по сравнению с эффективной девиацией частоты

Можно поэтому в выражении (6.56) положить (для малых тогда

Учитывая, что средний квадрат модулирующего напряжения

и применяя соотношение (6.49), находим:

Подставив это выражение в ф-лу (6.59), получим:

Полученный интеграл легко вычисляется в конечном виде:

Напомним, что амплитуда высокочастотного колебания была принята равной 1 в, так что коэффициент соответствует средней мощности колебания.

Выражение (6.65) справедливо при условии, что с возрастанием множитель обращается в достаточно малую величину раньше, чем станет неприменимым приближение

Если энергетический спектр модулирующего сигнала и не равен нулю в полосе частот должно выполняться неравенство

при одновременном условии Таким образом, выражение (6.65) ограничено условием 3-1-4.

Рассмотрение выражения (6.65) показывает, что при частотны модуляции нормально распределённым сигналом и спектр которого узок по сравнению с эффективной девиацией, распределение мощности в спектре модулированного колебания может

быть получено из закона распределения заменой в последнем на на

Подобные условия реализуются, например, в радиовещании на ультракоротких волнах и при звуковом сопровождении в телевидении. При пиках частотного отклонения, достигающих (при интегральной вероятности порядка эффективная девиация составляет около

При реальной полосе модулирующих частот получим что достаточно для справедливости выражения (6.65).

Характер изменения энергетического спектра в зависимости от величины показан на рис. 6.9, где на оси абсцисс отложено относительное изменение частоты а на оси ординат — произведение Здесь о 2 мощность высокочастотного колебания с амплитудой при сопротивлении 1 ом. В ф-ле (6.65), при выводе которой положено множителю соответствует коэффициент 1/2.

Рис. 6.9. Энергетический спектр колебания при частотной модуляции нормально распределённым сигналом

Основываясь на выражении (6.65) нетрудно найти интегральное распределение мощности, т. е. мощность, заключённую в полосе частот

Считая полосу симметричной относительно полагая и обозначив

можем привести последнее выражение к виду:

где интеграл вероятностей [см. примечание к ф-ле (1.55), § 1.6]. Зависимость от относительной полосы частот представлена на рис. 6.10.

Рис. 6.10. Мощность содержащаяся в полосе частот в долях суммарной мощности

Обратимся теперь к случаю «узкополосной» частотной модуляции, когда

Полагая энергетический спектр сигнала равномерным в столь широкой полосе частот 20, что на границе полосы

множитель в выражении (6.56) можно считать близким к нулю, получим согласно ф-ле (6.56):

Допустим, что фактическая полоса частот сигнала равна Тогда и выражение (6.66) может быть записано в виде:

Умножая это выражение на и учитывая получаем:

Подставим это выражение в ф-лу (6.59):

Обозначим:

Тогда

Интегрируя выражение (6.68), получим:

Это выражение можно привести к виду:

где, как и ранее, полоса модулирующих частот.

Характер изменения при различных значениях параметра показан на рис. 6.11, где по оси абсцисс отложено относительное частотное отклонение а по оси ординат значения

Рис. 6.11. Энергетический спектр колебания при частотной модуляции нормально распределённым сигналом для равного 0,25; 0,5; 1,0; 2,0 (кривые

Кривая (для построена по а кривая IV (для по ф-ле (6.65), приведённой к виду:

Кривые II и III (для получены путём приближённого интегрирования выражения (6.63),