§ I.3. Особые точки. Теорема вычетов

Точки, в которых функция перестаёт удовлетворять условиям Коши-Римана, теряя свою непрерывность и однозначность, называются особыми точками функции. В таких точках функция обращается в бесконечность или производная функции имеет несколько или множество значений (например в точках кривой, где имеется разветвление или излом). Применительно к задачам теории переходных процессов основной интерес представляют особые точки типа «полюса». Точка а на комплексной плоскости называется полюсом функции если однозначна и регулярна вблизи и стремится к бесконечности при стремлении z к а.

Так, например, функция имеет полюс в точке функция точке функция — в точках Функция имеет в точке полюс порядка кратности .

Вообще, если заданная функция может быть представлена в виде дроби:

то все корни уравнения т. е. нули знаменателя, являются полюсами функции

Выше было показано, что интеграл по любому замкнутому контуру, ограничивающему область регулярных значений равен нулю. Если же внутри контура интегрирования имеется полюс, то интеграл необязательно обращается в нуль. Напомним, что в соответствии с выражением (1.11), деформация замкнутого контура, охватывающего точку а, не влияет на величину интеграла. Отсюда следует, что интеграл по замкнутому контуру, охватывающему полюс, может зависеть только от поведения функции вблизи полюса Примером может служить ф-ла (1.13), из которой видно, что интеграл от функции по замкнутому контуру, охватывающему полюс равен значению в точке а. Величина интеграла от функции по замкнутому контуру вокруг полюса а, поделённая на называется интегральным вычетом или просто вычетом функции в полюсе а.

Таким образом,

Если в заданной области имеется полюсов, то, окружая каждый из них замкнутым контуром и применяя выражение (1.9), можно заменить интегрирование по внешнему контуру интегрированием по всем внутренним контурам.

Следовательно,

где вычет функции полюсе.

Равенство (1.19) выражает так называемую теорему вычетов, которую можно сформулировать следующим образом. Если функция регулярна в замкнутой области, за исключением конечного числа точек (полюсов), лежащих внутри области, то интеграл от функции по кснтуру области равен произведению на сумму вычетов в указанных особых точках.

Правила определения вычетов можно вывести, исходя из следующих соображений. Представим подинтегральную функцию в виде дроби (1.17), где и регулярные функции. Пусть в точке функция и т. е. точка а является полюсом функции По определению (1.18) можем написать:

Умножим числитель и знаменатель подинтегральной функции на учитывая, что вычтем, кроме того, из знаменателя ; тогда будем иметь:

При в пределе получим:

Подставляя в выражение (1.20), получим:

Учитывая соотношение (1.12), придём к следующей окончательной

формуле для вычета функции в полюсе

Приведём ещё другой, удобный в ряде случаев, способ определения вычета, который основан на представлении знаменателя в в виде:

где корни уравнения

Выделив множитель приведём к виду:

где

Тогда в соответствии с выражениями (1.18), (1.22) и (1.13) получим:

Определим вычет в полюсе порядка. Пусть функция может быть приведена к виду:

т. е. в точке функция имеет полюс порядка.

Подставив выражение (1.24) в получим для вычета:

Но в соответствии с ф-лой можно написать.

а согласно ф-ле (1.24)

Подставляя эти выражения в придём к следующей окончательной формуле для искомого вычета функции в полюсе кратности

Примеры применения приведены в основном тексте книги при рассмотрении процессов установления в многокаскадных усилителях.