§ 1.5. Спектральная плотность группы равноотстоящих импульсов

Рассмотрим сперва две одинаковые функции разделённые интервалом (рис. 1.11).

При одинаковых модулях их спектральные плотности будут отличаться фазовыми характеристиками. В соответствии с § 1.2 данной главы можем написать

Рассматривая группу как один сигнал, полу для спектральной плотности следующее выражение:

где

Таким образом, суммирование сплошных спектров двух одинаков функций, разделённых интервалом приводит к изменению модуля по закону и фазы на угол

Рис. 1.11. Два одинаковых импульса, разделённых интервалом

Особенно простой результат получается в случае двух единичных импульсов, когда и модуль спектральной плотности изменяется (рис. 1.12) с частотой по

закону Это справедливо для любых функций, если рассматривать в области частот, где спектральная плот ность близка к равномерной.

С увеличением числа повторяющихся через одинаковые промежутки функций модуль всё более и более увеличивается вблизи точек При бесконечном повторении функции с периодом (влево и вправо от получим периодическую последовательность, которую можно представить рядом Фурье. Коэффициенты этого ряда в соответствии с выражением (1.11) определяются формулой:

Рис. 1.12. Модуль спектральной плотности для двух единичных импульсов, разделенных интервалом

Спектральная плотность функции рассматриваемой изолированно от периодического продолжения, определяется ф-лой (1.1):

Поэтому приравняв сол, получим

т. е.

Этот результат показывает, что огибающая сплошного спектра (модуль спектральной плотности) непериодической функции и огибающая линейчатого спектра периодической функции (полученной из непериодической путём продолжения её с периодом совпадают по форме и отличаются только масштабом.

Отметим, что при определении постоянной составляющей периодической последовательности импульсов должна быть заменена выражением:

это вытекает из выражения:

Сопоставление периодической и непериодической функций позволяет сделать более наглядным понятие спектральной плотности. Обращаясь к линейчатому спектру произвольной функции заданной в интервале и повторяющейся с периодом -(см. рис. 1.11), составим отношение амплитуды гармоники к частотному интервалу между соседними гармониками; в соответствии с ф-лой (1.11) получим

Рис. 1.13. Графическая интерпретация понятия «спектральная плотность»

Как видим, это отношение, не зависящее от периода повторения 7, имеет размерность спектральной плотности.

В случае линейчатого спектра величина изменяется по частотной шкале ступенчато, как это показано пунктирной линией на рис. 1.13, и принимаем в каждом из интервалов значение, определяемое ф-лой (1.47).

В случае непериодической функции (и сплошного спектра) величина представляющая собой отношение бесконечно малых амплитуд к бесконечно малым интервалам переходит в плавную кривую, изображённую сплошной линией на рис. 1.13. Эта кривая отличается от спектральной плотности, определяемой ф-лой (1.1), только коэффициентом 2.