ПРИЛОЖЕНИЕ I. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Рассмотрение переходных процессов в данной книге основано на применении контурных интегралов и теории вычетов. Ниже приводятся некоторые положения теории функций комплексного переменного, необходимые для пользования указанным математическим аппаратом.

§ I.1. Комплексная плоскость. Аналитические функции

Комплексное число геометрически может быть представлено точкой с двумя координатами х и у на плоскости, отнесённой к прямолинейным прямоугольным осям и Вместо двух вещественных координат току на плоскости можно определить одной комплексной координатой С этой точки зрения плоскость называется плоскостью комплексного переменного, а оси вещественной и мнимой осями. Часто бывает удобно представлять комплексное число в виде вектора, составляющие которого по координатным осям равны х и у. Можно поэтому написать (рис. :

Рис. 1.1. Представление комплексного числа точкой на плоскости

Функция от комплексной переменной также может быть разложена на вещественную и мнимую части:

Функция имеет производную в точке 2, если предел отношения

является конечным и определённым независимо от закона, по которому комплексное приращение стремится к нулю. Функции, удовлетворяющие этому условию в некоторой области плоскости 2, называются регулярными (дифференцируемыми) или аналитическими в заданной области.

Можно показать, что регулярные функции удовлетворяют следующим уравнениям:

Воспользуемся для этой цели общим определением производной от в виде:

Основываясь на независимости производной регулярной функции от способа приближения к нулю, положим один раз а второй раз Тогда при т. е. при стремлении точки к точке по прямой, параллельной оси X, получим:

Аналогично при

Приравнивая правые части ур-ний и и отделяя вещественные части от мнимых, получим выражения называёмые условиями Коши-Римана. Эти условия играют важную роль также и в интегральном исчислении функций комплексного переменного.

Определим понятие о контурном интеграле от функции комплексного переменного. Пусть на кривой С, лежащей в плоскости задана некоторая непрерывная функция Разобьём кривую С произвольным образом на частей с промежуточными точками расположенными на кривой С в порядке возрастания их номеров. Обозначим выберем «а каждом участке кривой С произвольную точку и составим сумму произведений:

Предел этой суммы при беспредельном возрастании числа делений и беспредельном уменьшении каждого из участков

называется контурным интегралом от функции по контуру С.

При переходе к пределу правая часть выражения образует два криволинейных интеграла и, следовательно:

Итак, интеграл от по комплексному переменному сводится к сумме двуз вещественных криволинейных интегралов. Следовательно, контурный

интеграл обладает всеми свойствами, присущими обычным криволинейным вещественным интегралам, в частности, следующими:

— интеграл от суммы равен сумме интегралов от слагаемых,

— при перемене направления обхода контура интегрирования величина интеграла меняет только знак,

— если разбить контур интегрирования на несколько частей, то величина интеграла по всему контуру равна сумме интегралов по отдельным его частям.

Разумеется, все эти свойства и приведённые выше уравнения, справедливы как для отрезка кривой, так и для замкнутых контуров интегрирования.

Выражение позволяет также выявить требования к функции при выполнении которых интеграл определяется только положением конечных точек независимо от пути интегрирования. В теории криволинейных интегралов доказывается что для независимости интеграла вида

от пути интегрирования необходимо 2), чтобы

Если рассматривать как составляющие некоторого вектора по осям х и у соответственно, то равенство (б) выражает условие потенциальности вектора в плоскости позволяющее выразить через потенциальную функцию :

При этом под интегралом (а) будет стоять полный дифференциал функции что и обеспечивает независимость значения интеграла от пути интегрирования.

Применим условие (б) к выражению Учитывая, что для независимости контурного интеграла от пути необходимо, чтобы оба криволинейные интеграла в правой части выражения определяющие вещественную и мнимую части контурного интеграла, не зарисели от пути, приходим к уравнениям:

Полученные здесь уравнения полностью совпадают с приведёнными выше условиями Коши-Римана. Поэтому приходим к следующему важному выводу: условия независимости контурного интеграла от пути совпадают с условием регулярности функции Из этого положения вытекает следующая фундаментальная теорема Коши: если функция регулярна в данной области переменного то интеграл от этой функций по любому замкнутому контуру, лежащему в об ласти у равен нулю:

Действительно, при фиксированных точках в силу независимости интеграла от пути можно написать:

Если интегрирование ведётся по замкнутому контуру в каком-либо определённом направлении, например, против часовой стрелки (которое принято считать положительным), то на участке знак у интеграла будет обратным знаку у интеграла на

Рис. 1.2. Замкнутый контур интегрирования

Рис. 1.3. Двухсвязная сбласть на комплексной плоскости

Следовательно,

Рассмотрим теперь область переменного ограниченную одним внешним и несколькими внутренними контурами. Такая область называется многосвязной. На рис. в качестве примера изображена двухсвязная область с внешним контуром С и внутренним Допустим, что функция является регулярной всюду в заштрихованной части плоскости, включая контуры Нетрудно доказать, что при этих условиях интеграл по внешнему контуру равен интегралу по внутреннему контуру, если интегрирование по обоим контурам ведётся против часовой стрелки. Для доказательства проведём разрез соединяющий внешний контур с внутренним. Разрезанная область будет уже односвязной. Интеграл от регулярной функции по замкнутому контуру, обозначенному на рис. стрелками и включающему в себя и отрезок АВ, равен нулю. При этом необходимо интегрировать: по внешнему контуру против часовой стрелки, по внутреннему контуру по часовой стрелке и по разрезу А В два раза в противоположных направлениях. Так как интегралы по разрезу взаимно сократятся, то

Если изменить направление интегрирования внутреннему контуру, то получим:

что и требовалось доказать.

Если область является многосвязной (т. е. имеет большое число «дыр»), то ф-ла может быть обобщена следующим образом:

число внутренних контуров, причём интегрирование по всем контурам ведётся против часовой стрелки.

Выражения и позволяющие деформировать замкнутый контур в пределах области, где функция регулярна, широко используются в практических приложениях контурных интегралов.