ГЛАВА 2. ПРОХОЖДЕНИЕ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

§ 2.1. Распространение интеграла Фурье на комплексное переменное. Преобразование Лапласа

Вычисление интегралов вида (1.22), представляющих напряжение (или ток) на выходе линейного четырёхполюсника, значительно облегчается при использовании методов контурного интегрирования на плоскости комплексного переменного. Переход от вещественного переменного к комплексному позволяет также полностью устранить ограничения, вытекающие из требования абсолютной интегрируемости функции Последнее обстоятельство особенно существенно, поскольку исследование прохождения непериодических сигналов ерез линейные цепи часто сводится к рассмотрению переходных процессов в этих цепях при включении в момент постоянной или гармонической электродвижущей силы. Обе эти функции — единичный скачок и полусинусоида — требуют применения искусственных приёмов (см. § 1.3 и 1.4) для использования соотношений (1.1) и (1.2).

Допустим, что задана для положительных значений и равна нулю при Тогда прямое и обратное преобразования (1.1) и (1.2) запишутся следующим образом:

Введём в эти выражения множитель где Это равносильно замене новой функцией

По отношению к этой новой функции выражения (2.1) и (2.2) принимают следующую форму:

Поскольку в выражении (2.2) интегрирование производится по переменной , множитель может быть введён под знак интеграла:

Далее, непосредственно из выражения видно, что правая часть его является функцией параметра с Следовательно, и левая часть выражения (2.1) является функцией комплексного переменного

Можно поэтому вместо выражения написать

Это соотношение, преобразующее вещественную функцию вещественного переменного в функцию комплексного переменного называется преобразованием Лапласа. иногда называют лапласовой преобразованной или изображением функции Исходную функцию называют оригиналом.

Из предыдущего ясно, что изображение может быть получено из прямого преобразования Фурье простой заменой комплексным переменным

Подставим теперь в выражение вместо и перейдём к новой переменной При очевидно а пределы интегрирования при изменении от до будут, соответственно, Поэтому получим

Сравнивая выражения (2.5) и (2.3), приходим в выводу, что переход от к означает изменение пути интегрирования. В выражении (2.3) интегрирование ведётся по вещественной оси со, а в выражении (2.5) — по прямой, лежащей на плоскости комплексного переменного и проходящей параллельно мнимой оси на расстоянии с от последней (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Путь интегрирования по прямой на плоскости комплексного переменного

Величина постоянной с определяется характером функции В случае единичного скачка постоянная с может быть сколь угодно малой, но обязательно положительной величиной (см. § 1.2), путь интегрирования должен проходить правее точки То же справедливо и для синусоиды, начинающейся при (см. § 1.4). Для убывающей экспоненты при сходимость интеграла:

обеспечивается при любом значении Следовательно, путь интегрирования должен проходить правее точки а

Для возрастающей экспоненты наоборот, путь интегрирования должен проходить правее точки

Всё вышеизложенное обобщается следующим правилом: путь интегрирования должен проходить правее всех особых точек (полюсов) подлнтегдальнодкции. Некоторые дополнительные соображения, основанные на теории контурных интегралов и необходимые для вычисления интегралов вида (2.5), приводятся в следующем параграфе.

Соотношение (2.5) по аналогии с выражением (1.2) иногда называют обратным преобразованием Лапласа.

Отметим, что преобразования Фурье, как и преобразования Лапласа, являются частными случаями более общих формул обращения Римана-Меллина:

Действительно, подставив в эти формулы учитывая, что при новой переменной пределам отвечают пределы получим:

Вводя новую функцию придём к выражениям:

Второе из этих выражений совпадает с ф-лой (2.5), первое же обращается в если функция только при т. е.-когда имеется в виду одностороннее преобразование Лапласа. При эти выражения переходят в и (1.2).