§ 9.3, Приложение метода мгновенной частоты к расчёту искажений при гармонической частотной модуляции

Пусть

Сохраняя в выражении (9.9) только первый член, получим

Поскольку первый множитель в правой части выражения (9.11) представляет собой электродвижущую силу на входе системы, все искажения как амплитудные, так и фазовые, определяются множителем Не интересуясь в данном случае амплитудными изменениями, займёмся анализом производной которая и характеризует влияние цепи на изменение мгновенной частоты выходного колебания. Обозначив и учитывая, что при настройке колебательной системы и на среднее значение вынуждающей частоты фазовая характеристика симметрична, можем представить функцию в виде ряда Фурье по нечётным гармоникам (синусоидам). Следовательно, для мгновенной частоты выходного колебания можно написать

где

—амплитуды гармоник функции

Сопоставление выражений (9.12) и (9.10) позволяет сделать вывод о том, что влияние цепи на выходное колебание заключается:

— в увеличении девиации на основной частоте сигнала раз;

— в запаздывании фазы сигнала на угол определяемый ф-лой (9.13);

— в возникновении нечётных гармоник в законе изменения мгновенной частоты.

Наибольшее значение имеет обычно последнее обстоятельство.

Рассмотрим некоторые колебательные системы.

1. Одиночный колебательный контур

Коэффициент передачи (проводимость, при настройке контура на частоту

Очевидно,

и с учётом (9.10) получаем

Опуская промежуточные выкладки, приведём окончательные формулы для

В соответствии с выражением (9.13) получаем

Полагая и разделив выражение (9.17) на находим коэффициент нелинейных искажений для 3-й гармоники

График зависимости изображён на рис. 9.2. При и (9.19) приводят к простым соотношениям:

При (но т. е. при девиации, почти равной полосе пропускания контура

Рис. 9.2. Коэффициент третьей гармоники частотного отклонения для одиночного контура, настроенного на среднюю частоту модулированного колебания

Итак, в условиях, когда квазистационарное решение применимо, предельные искажения не превышают долей процента.

Нетрудно выявить пределы применимости квазистационарного решения. Полагая и применяя выражение (9.14) для коэффициента передачи, определим производные от по формуле

где

Тогда для отдельных членов ф-лы (9.9) можно написать следующие выражения:

Нетрудно видеть, что постоянные коэффициенты при этих слагаемых образуют следующую последовательность:

Поскольку решение (9.9) справедливо при условии достаточно велико (см. замечания в конце § 9.1) можно сделать заключение, что в случае одиночного контура условие сходимости выражения (9.9) есть одновременно условие малой инерционности контура.

Из рассмотрения приведённой выше последовательности видно, что квазистационарное решение допустимо (для одиночного контура), если одновременно выполняются два неравенства:

2. Резонансный усилитель с разделёнными контурами (одинаковыми)

При общем числе контуров коэффициент передачи

и, очевидно;

Из выражений, подобных ф-лам (9.15) — (9.18), видно, что для всего усилителя в раз больше, чем для каждого контура в отдельности. Из этого следует, что для -контурного усилителя

где через обозначены соответствующие величины для одного контура.

Рассмотрим теперь случай, когда одновременно с увеличением числа контуров постоянная времени каждого из них снижается с таким расчётом, что полоса пропускания 2 Дсоол всего, тракта остаётся неизменной. При заданном отношении девиации к полосе пропускания действительно соотношение

Если то при достаточно большом числе величина настолько мала, что можно пользоваться приведённым выше приближённым выражением (9.19) для Тогда для всего усилителя получим

Как видим, при неизменной полосе пропускания коэффициент нелинейных искажений с увеличением числа уменьшается. Так, например, при получим уменьшение до от значения соответствующего одному контуру.

Уточним условия применимости квазистационарного решения для -контурного усилителя. Можно составить последовательность постоянных коэффициентов выражения (9.9), подобную последовательности (9.21). В данном случае в соответствии с ф-лой (9.23) общее выражение для производной коэффициента передачи имеет вид:

где

Дифференцирование ведётся по переменной

Таким образом, получим убывание коэффициентов по закону

Отсюда следует, что квазистационарное решение мокет быть применено, если одновременно выполняются два неравенства:

3. Полосовой фильтр

Исходя из коэффициента передачи для двух одинаковых контуров (с точностью до постоянного коэффициента):

где коэффициент связи,

имеем

Отсюда

Исследование коэффициента нелинейных искажений К в общем виде связано с громоздкими вычислениями. Для выяснения принципиальных положений наибольший интерес представляет случай связи, близкой к критической. Полагая К получим

Для сравнения с одиночным контуром ограничимся малыми величинами Вместо выражения (9.31) можем написать

Сравнивая это выражение с ф-лой (9.15), которая при малых содт может быть представлена в форме:

приходим квыводу, что в случае двух связанных контуров коэффициент нелинейных искажений в два раза меньше, чем при использовании каждого из контуров порознь. Это естественно вытекает из того факта, что полоса пропускания двухконтурной системы при раз больше, чем у одного контура. Если исходить из одной и той же полосы пропускания, для чего потребуется в случае связанной системы увеличить в 1/2 раз, то искажения будут в раз больше, чем; в одном контуре.

Подобный же результат получается и для системы, состоящей из двух разделённых симметрично-расстроенных контуров, при растройке (обобщённой), равной единице.

Рассмотренные примеры показывают, что для ослабления искажений при частотной модуляции высокочастотный тракт выгоднее всего составлять из одиночных резонансных контуров, разделённых лампами. При одной и той же полосе

пропускания всего тракта искажения тем меньше, чем больше число контуров.

Когда требуется особо высокая точность определения нелинейных искажений, может оказаться необходимым удержание двух первых членов в выражении (9.9). В практике такие случаи встречаются редко.