§ 2.3. Процессы установления в линейных системах с сосредоточенными постоянными

Современная теория электрических цепей предоставляет в распоряжение исследователя ряд способов и приёмов для отыскания реакции цепи на воздействие электродвижущей силы произвольной формы. Фундаментальным способом является, как известно, составление интегро-дифференциального уравнения относительно искомой функции (ток, напряжение) и интегрирование этого уравнения одним из известных

методов. Наиболее эффективным методом решения этой задачи является алгебраизация полученных уравнений с помощью преобразования Лапласа, применяемого как к самой функции и её производным и интегралам, так и к внешней силе (эдс), действующей на систему.

Изображения производных и интегралов от нетрудно выразить через изображение для самой функции

Рассмотрим сначала производную Применяя ф-лу (2.4) и интегрируя по частям, получим

Учитывая, что можем написать;

где значение функции при

Подобным же образом для можно получить

где постоянная С соответствует значению интеграла к моменту т. е.

Алгебраизация интегро-дифференциальных уравнений особенно упрощается при «нулевых» начальных условиях, т. е. при рассмотрении процессов, связанных с подключением в момент электродвижущих сил к «пустой» цепи (когда все токи через индуктивности и напряжения на емкостях равны нулю). В этом случае

Очевидно, что производной порядка соответствует изображение

В результате применения преобразования (2.4) ко всем членам исходного дифференциального уравнения последнее может быть приведено к виду

где изображение для искомой функции изображение для внешней силы действующей на рассматриваемую систему, функция от определяемая параметрами цепи.

Таким образом, изображение искомой функции (ток, напряжение) определяется в явной форме:

где коэффициент передачи цепи.

Оригинал искомой функции определяется с помощью обратного преобразования (2.5):

Выражение (2.28) тождественно ф-ле (1.22). Достаточно в последнем заменить на чтобы получить выражение (2.28). Таким образом, можно рассматривать как комплексный спектр эдс, а как коэффициент передачи цепи, получаемый из комплексного коэффициента простой заменой на [см. ф-лу (1.20)].

Если является изображением для гармонической электродвижущей силы частоты включаемой в цепь в момент то сумма вычетов в особых точках функции определяет установившуюся часть выходного напряжения (или тока), а сумма вычетов в особых точках переходную часть. Действительно, результирующее напряжение на выходе цепи можно представить в следующей форме, получаемой из выражения (2.28) соответствующим преобразованием пути интегрирования (рис. 2.5):

В этом выражении первый интеграл (по контуру равный сумме вычетов в полюсах соответствует установившемуся напряжению. Это очевидно, так как умножение подинтегральной функции в выражении (2.29) на при

сохранении положения особых точек равносильно умножению вычетов на изменению комплексной амплитуды эдс в соответствии с коэффициентом передачи цепи при частоте

Отсюда следует также, что второй интеграл (по контуру определяет переходную часть выходного напряжения.

Рис. 2.5. Преобразование пути интегрирования для переходного процесса при подаче на вход линейной цепи синусоидальной эдс с частотой

а) интегрирование по контуру даёт полное выходное напряжение,

б) интегрирование по контурам и определяет стационарную и переходную части выходного напряжения. Здесь -особые точки изображения эдс, - коэффициента передачи цепи

В тех случаях, когда характер функции не позволяет составить выражение для или а также если это выражение приводит к затруднениям при вычислении интеграла (2.5), весьма полезным может оказаться применение теоремы наложения (интеграл Дюамеля). Этот вопрос подробно рассматривается в ряде работ [15, 19, 28]. В данной книге теорема наложения использована в гл. 7 применительно к огибающим высокочастотных колебаний.

Применение контурных интегралов к исследованию переходных процессов поясняется ниже на некоторых примерах.