§ 6.5. Определение частотного спектра при угловой модуляции методом функции корреляции

Если модулирующая функция и представляет собой стационарный вероятностный процесс (см. гл. 5), определение энергетического спектра модулированного колебания может быть произведено с помощью функций корреляции. Обратимся к выражению (6.15);

и представим его в виде

где соответственно косинусоидальная и синусоидальная части функции

Составим произведение

Усредним полученное выражение по Функции определяемые выражением можно рассматривать как амплитудно-модулированные колебания с огибающими

Применяя можем написать:

Складывая выражения (6.24) и (6.25), получим:

Подобным же образом можно составить выражение

Выражения (6.26), (6.27) и (6.23) позволяют получить следующую формулу для функции корреляции:

Значение каждого из слагаемых в правой части выражения (6.28) определяется характером функции конечном итоге характером модулирующей функции Если, в частности, последняя представляет собой произвольную нерегулярную (стационарный процесс) функцию с нулевым средним значением и симметричным относительно нуля вероятностным распределением, то и разность и при любом сохранит указанные свойства.

Для таких функций (аналогичное доказательство приводится на стр. 206)

и

Для функций с несимметричным относительно нулевого значения распределением необходимо исходить из общего выражения (6.28).

Приведённый выше критерий может быть распространён и на периодические функции, если фазу этих функций рассматривать как случайную величину (см. § 5.2).

Введём обозначение

а через обозначим плотность вероятности для случайной величины х.

Средние значения можно определить с помощью выражений (5.3):

В соответствии с сделанным выше замечанием выражения (6.31) Имеют общий характер и пригодны для определения также и в случае регулярных периодических функций х, отсчитываемых при случайным образом выбранных моментах Приведённое выше условие симметрии модулирующей функции и (0 (относительно линии должно быть уточнено: необходима симметрия плотности вероятности относительно нуля.

Итак, в случае «симметричной модуляции» фазы (или частоты) функция корреляции модулированного колебания определяется выражением:

где и соответствуют выражениям (6.30) и (6.31).

Основываясь на ф-ле (6.28) и применяя соотношение Хинчина (см. § 5.5), можно определить энергетический спектр высокочастотного колебания при нерегулярной угловой модуляции. Дальнейшее исследование целесообразно проводить для конкретных модулирующих функций.