ГЛАВА 1. НЕПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ. ЧАСТОТНЫЕ СПЕКТРЫ

§ 1.1. Интегральные преобразования Фурье

Допустим, что рассматриваемый сигнал представляет собой регулярную функцию времени удовлетворяющую условиям Дирихле во всяком конечном интервале и, кроме того, абсолютно интегрируемую, т. е. такую функцию, для которой сходится.

По отношению к такой функции применимо прямое преобразование Фурье:

где -так называемая спектральная плотность или спектральная характеристика функции

Обратным выражению (1.1) преобразованием является

Если функция кусочно-гладкая, то в точках разрыва интеграл (1.2) даёт значение:

Выражение (1.2) представляет непериодическую функцию в виде суммы (интеграла) гармонических колебаний с бесконечно малыми амплитудами

Формулы (1.1) и (1.2) могут быть, как известно, получены из соответствующих выражений для периодической функции, если период этой функции устремить к бесконечности.

Действительно, пусть заданная в интервале функция периодически повторяется с частотой где период повторения. Тогда при выполнении оговоренных условий Дирихле подобная функция может быть представлена рядом Фурье, записанным в тригонометрической или комплексной форме:

Здесь — постоянная составляющая, амплитуды косинусоидальных и синусоидальных членов разложения функции Эти величины определяются выражениями:

Амплитуда (модуль) и фаза гармоники выражаются через следующим образом:

Входящая в выражение (1.4) комплексная амплитуда в свою очередь, связана с следующими очевидными соотношениями:

В соответствии с выражениями (1.6) и (1.7) можно также написать:

Подставив это выражение в (1.4) и учитывая, что получим

Если теперь устремить к бесконечности, то в пределе получим исходную непериодическую функцию заданную в интервале

При частота превращается в текущую частоту а операция суммирования — в операцию интегрирования. Таким образом, приходим к выражению (1.2), в котором спектральная плотность отличается от только коэффициентом.

В отличие от периодической функции времени, обладающей линейчатым спектром, функции непериодические образуют сплошной спектр.

Спектральная плотность может быть записана в форме, подобной (1.10):

где

Модуль спектральной плотности является функцией чётной относительно частоты а фазовая характеристика нечётной. первом из этих утверждений легко убедиться непосредственно из определения модуля:

Для доказательства второго утверждения отметим, что в соответствии с выражением (1.1) вещественная часть спектральной плотности

является чётной функцией относительно а мнимая часть

— нечётной функцией относительно . Следовательно, как это видно из

Некоторые дополнительные соображения о спектральной плотности приведены в § 1.5.

Выражение (1.2) легко привести к тригонометрической форме, аналогичной (1.3). Подставив выражение (1.13) в получим

Из выражений (1.15) и (1.18) следует, что подинтегральная функция в первом интеграле является чётной, а во втором интеграле нечётной функцией относительно со.

Следовательно, второй интеграл обращается в нуль, и окончательно:

Здесь фаза определяется ф-лой (1.14).

Сопоставление и (1.2) показывает, что фигурирующие в последней «отрицательные» частоты имеют формальный характер и связаны с применением комплексной формы для представления вещественной функции времени.

Гармонической составляющей с какой-либо «физической» частотой соответствует следующая пара слагаемых, входящих в выражение (1.2):

В силу чётности модуля и нечётности фазы относительно эта пара слагаемых даёт в сумме гармоническую вещественную функцию:

выраженную через положительную частоту

Таким образом, при использовании удобной для анализа всегда можно освободиться от отрицательных значений путём перехода к тригонометрической форме.

Значение интегральных преобразований (1.1) и (1.2) в современной технике и, особенно, в радиотехнике очень велико. Представление непериодического сигнала в виде совокупности гармонических колебаний позволяет наглядно судить о распределении энергии в спектре и оценивать значимость отдельных частотных полос этого спектра.

Основанный на гармонический анализ непериодических электродвижущихся сил в сочетании и с принципом наложения представляет собой эффективное, средство для изучения влияния линейных систем на параметры выходных сигналов.

Если под подразумевается непериодическая электродвижущая сила на входе линейного четырёхполюсника, частотно-фазовые характеристики которого известны, то для нахождения выходного сигнала достаточно учесть амплитудные и фазовые изменения, претерпеваемые каждой из гармонических составляющих сигнала при прохождении через рассматриваемую систему.

Оговоренное выше условие линейности цепи позволяет рассматривать прохождение каждой из гармоник сигнала независимо от всех остальных гармоник.

Пусть комплексный коэффициент передачи четырёхполюсника, смысл и размерность которого определяются характером четырёхполюсника и способом включения генератора и нагрузки (некоторые общие свойства коэффициентов передачи реальных попей рассмотрены в гл. 3), задан в форме:

Тогда для учёта амплитудных и фазовых изменений комплексная амплитуда каждой из гармоник эдс должна быть умножена на

Следовательно, сигнал на входе и сигнал на выходе линейного четырёхполюсника в соответствии с ф-лой (1.2) и на основании принципа, наложения определяются выражениями:

Здесь представляют собой соответственно спектральную плотность сигнала на входе и выходе четырёхполюсника.

Следует отметить, что условиям Дирихле удовлетворяют все физически осуществимые сигналы. Поэтому при представлении периодических сигналов в виде рядов Фурье, а непериодических в виде интеграла Фурье упомянутые выше условия в практике не приходится специально оговаривать. Иначе обстоит дело, с условием абсолютной интегрируемости, которое существенно ограничивает класс функций, допускающих применение интетральных преобразований (1.1) и (1.2). В частности, такие кажные для анализа переходных процессов функции, как «единичный скачок» и синусоида с огибающей в виде единичного скачка, не отвечают условию абсолютной интегрируемости. В подобных случаях приходится прибегать к некотором искуммтвенным приёмам применения выражений (1.1), (1.2) или переходить к более "общим преобразованиям Лапласа (см. гл. 2).

Несмотря на эти ограничения, преобразования (1.1) и (1.2), позволяющие осуществить гармонический анализ, являются важным средством для исследования прохождения непериодических сигналов через линейные системы.