§ 2.6. Дифференцирующие и интегрирующие цепи

Пусть требуется построить линейную систему, обладающую способностью преобразовывать электродвижущую силу в выходное напряжение вида

Здесь постоянная зависящая от параметров цепи, имеет размерность времени.

Для выявления требуемого характера комплексного коэффициента передачи цепи, обратимся к представлению в виде интеграла (2.2):

Дифференцируя обе части этого выражения по 7, получим

Подставив в выражение (2.46), можем написать

где

Итак, для получения на выходе цепи напряжения, пропорционального производной спектральная плотность должна быть умножена на Этот результат вытекает также из свойства (2.24), на основании которого изображение Для выходного напряжения определяется выражением где изображение для

Рис. 2.14. Простейшие дифференцирующие цепи

Осуществить линейную систему с частотной характеристикой вида (2.47) при изменении со от до невозможно. Поэтому задача дифференцирования сигналов с сплошным спектром может быть осуществлена лишь приближённо с тем большей точностью, чем в более узкой области частот концентрируется основная часть энергии сигнала.

Простейшие дифференцирующие цепи изображены на рис. 2.14.

Для рис. 2.14а

для рис. 2.14б

Рис. 2.15. Представление в виде разности двух линейно-возрастающих

В области частот, удовлетворяющих условию где или постоянная времени цепи, коэффициент передачи удовлетворяет выражению (2.47). Приближение к те получается, следовательно, тем лучшее, чем меньше постоянная времени дифференцирующей цепи и чем быстрее убывание спектральной плотности в области высших частот. Поясним приведённые выше соображения на некоторых примерах. Пусть электродвижущая сила на входе дифференцирующей цепи, состоящей из имеет вид функции показанной на рис. 2.15. Эту функцию можно рассматривать как разность функций:

где - наклон функции на участке

Изображение для функции по определяется выражением

Коэффициент передачи цепи после замены в выражении на равен Применяя ф-лу (2.28), получим

Полюсы Определив с помощью вычеты в этих полюсах, получим

От электродвижущей силы получим, соответственно, для

На участке выходное напряжение совпадает с выражением (2.49). При выходное напряжение равно разности . В результате получим построение, которое изображено на рис. 2.16.

Рис. 2.16. Воздействие напряжения (см. рис. 2.15) на дифференцирующую цепь

Прохождение через дифференцирующую цепь трапецеидального импульса поясняется на рис. 2.17. Из (2.50) и рис. 2.16 и 2.17 вино, что при постоянной времени выходное напряжение, уменьшаясь по величине (при заданном приближается к точному выражению производной от

Обратимся теперь к эдс , изображённой на рис. 2.15, и пусть (при неизменном

На участке выходное напряжение, в соответствии с ф-лой (2.49), при определяется приближённым выражением:

Для вычитая выражение (2.50) из (2.49), получим

Для в пределе получим

Этот результат соответствует воздействию на цепь (содержа дую скачка электродвижущей силы при

Рис. 2.17. Воздействие трапецеидального импульса на дифференцирующую цепь

Рис. 2.18. Воздействие прямоугольного импульса на дифференцирующую цепь

В случае передачи прямоугольных импульсов напряжение на выходе дифференцирующей цепи примет форму, показанную на рис. 2.18. Рассматривать это напряжение как производную от конечно, нельзя и в тех случаях, когда термин «дифференцирующая цепь» является условным.

Рис. 2.19. Простейшие интегрирующие цепи

Для интегрирования сигналов необходимо, чтобы коэффициент передачи цепи

Это соотношение легко может быть получено интегрированием выражения (2.2) в пределах от до или делением изображения на в соответствии с соотношением (2.25).

Простейшие интегрирующие цепи, приближающиеся к условию (2.52), изображены на рис. 2.19.

При соблюдении условия коэффициент передачи для этих цепей

где

Как видим, в отличие от дифференцирующих цепей интегрирование получается тем точнее, чем больше постоянная времени цепи и чем выше область частот, в которой концентрируется основная часть энергии сигнала.

Если на цепь, содержащую действует электродвижущая сила в виде прямоугольного импульса (рис. 2.20), ток через конденсатор на участке равен

а напряжение на конденсаторе

Характер изменения при зависит от условий разряда конденсатора. Если цепь в перерывах между импульсами разомкнута или постоянная времени разряда больше, чем заряда, будет происходить накопление заряда конденсатора.

Рис. 2.20. Воздействие прямоугольного импульса на интегрирующую цепь (длительность импульса постоянная времени цепи )