§ 6.6. Приложение метода функции корреляции к предельному случаю медленной гармонической угловой модуляции

Хотя развитый в предыдущем параграфе метод предназначен для исследования нерегулярной угловой модуляции, некоторые интересные результаты могут быть получены и в случае применения этого метода к исследованию гармонической модуляции. Пусть

и

По ф-ле (6.30) находим:

где

Обозначим

Тогда выражение (6.35) можно записать следующим образом:

Рассматривая как постоянный параметр, получаем:

Нетрудно видеть, что усреднение выражений (6.38) и (6.39) по даёт:

Подставив выражения (6.40) в ф-лу (6.28), найдём функцию корреляции для высокочастотного колебания со средней частотой и гармонической фазовой модуляцией

Учитывая, что средний квадрат модулированного колебания представляют собой соответственно коэффициенты корреляции и для гармонических колебаний с частотами и , представим выражение (6.41) в следующем виде:

Выражение (6.42) показывает, что коэффициент корреляции и функция корреляции представляют собой высоко-частотные функции, огибающие которых изменяются по закону с периодом

Рис. 6.6. График функции при

График функции для приведён на рис. 6.6.

Весьма сложная (нелинейная) связь между и определяемая выражением (6.42), указывает на сложную

структуру спектра модулированного колебания. Соотношения (5.39), связывающие энергетический спектр колебания с при периодической модуляции очевидно неприменимы. В данном случае необходимо применять аналогичные выражения, учитывающие дискретный характер спектра функции

Эта задача в случае армонической угловой модуляции проще решается непосредственным разложением модулированного колебания на боковые частоты с амплитудами, пропорциональными бесселевым функциям (см. § 6.4). Рассмотрим следующий предельный случай: мгновенная частота колебания изменяется гармонически в пределах с периодом т. е. а индекс модуляции При такой модуляции в соответствии с выражением (5.31) получим:

Поэтому ф-ла (6.41) принимает вид:

По отношению к рассматриваемому режиму модуляции, характеризующемуся сплошным спектром, применимо соотношение (5.42). Основываясь на этом соотношении, находим для энергетического спектра модулированного колебания выражение:

Первый интеграл

равен:

Отсюда следует, что второй интеграл в правой части ф-лы (6.45) равен нулю, так как заведомо больше

Итак, при энергетический спектр модулированного колебания определяется выражением:

где — текущая частота, изменяющаяся в пределах

Напомним, что амплитуда колебания принята равной единице.

График функции изображён на рис. 6. 7.

Отметим, что закон изменения совпадает с законом дифференциального распределения (плотностью вероятности для гармонического колебания, фаза которого рассматривается как случайная, равновероятная в интервале от до величина [см. ф-лу (5.11)].

Таким образом, приходим к выводу, что при распределение средней мощности в спектре модулированного колебания совпадает с вероятностным распределением модулирующей функции.

Рис. 6.7. Энергетический спектр колебания при синусоидальной частотной модуляции с индексом

Совпадение (с точностью до постоянного коэффициента) выражений (6.46) и может быть истолковано физически следующим образом. При медленном гармоническом изменении мгновенной частоты эдс в пределах средняя (за период модуляции) мощность, приходящаяся на полосу частот

пропорциональна времени нахождения мгновенной частоты эдс в указанной полосе частот.

Чем ближе к границам качания частоты расположена рассматриваемая полоса , тем больше это время.

Рис. 6.8. Огибающая спектра колебания при синусоидальной частотной модуляции с индексом

Переходя от средней мощности на 1 гц, т. е. от к действующему (среднеквадратичному) напряжению (или току), получим с точностью до постоянного коэффициента

Можно показать, что к подобному закону приближается зависимость амплитуд боковых частот модулированного колебания при

На рис. 6.8 изображена кривая, показывающая зависимость бесселевой функции от при Полагая и переходя к переменной можем рассматривать эту кривую как зависимость огибающей максимальных

амплитуд боковых частот от положения этих частот в полосе

С повышением спектр принимает всё более явно выраженную линейчатую структуру и связь между законом вероятностного распределения модулирующей функции и энергетическим спектром становится менее отчётливой.