§ 3.5. Коэффициент передачи четырёхполюсника

По определению, данному в § 3.2 настоящей главы, коэффициент передачи пассивного линейного четырёхполюсника представляет собой комплексную величину с размерностью проводимости [ф-ла (3.11)] или безразмерную [ф-ла (3.13)], смотря по тому, что понимается под выходной величиной: ток или напряжение. В данной главе под коэффициентом передачи имеется в виду отношение комплексных амплитуд напряжений, т. е. определяется ф-лой (3.13).

Многочисленные вопросы, связанные с классификацией и расчётами четырёхполюсников, здесь не обсуждаются.

Основной интерес для нас представляют свойства четырёхполюсников с точки зрения взаимосвязи модуля и фазы коэффициента передачи.

Обратимся к общему определению коэффициента передача в виде выражения (3.13) и приведём его к виду, аналогичному (3.38). В общем случае, когда элементы четырёхполюсника состоят из индуктивностей, емкостей и сопротивлений, а корни уравнений являются комплексными, выражение (3.13) можно представить в форме

Здесь постоянный коэффициент, нули, а полюсы коэффициента передачи.

Приравнивая получим коэффициент передачи в виде функции Модуль («частотная характеристика») и аргумент («фазовая характеристика») коэффициента передачи определяются выражениями:

Рассмотрим сперва случай чисто реактивных четырёхполюсников (без потерь), когда особые точки представляют собой чисто мнимые величины.

Если - исключить особые точки, соответствующие то все остальные особые точки являются попарно сопряжёнными:

Учитывая, что при этом

и объединяя каждую пару сопряжённых корней в выражениях (3.46) и (3.47) одним индексом, получим:

где

где

Здесь число пар сопряжённых нулей, число пар сопряжённых полюсов, полное число, соответственно, нулей и полюсов.

Необходимо отметить, что коэффициент передачи в отличие от входной проводимости двухполюсника, может вообще не иметь нулей. Возможны также и кратные нули. Между числом нулей и полюсов непосредственной связи нет и не обязательно их чередование, как в

Фаза изменяется скачками в соответствии с изменением знака разности в точках или Если изменять частоту от до то, в соответствии с выражением (3.47), полное изменение фазы будет равно где число пар сопряжённых нулей, число пар сопряжённых полюсов коэффициента передачи.

Если имеются кратные нули или полюсы, то порядки кратности должны быть засчитаны в или Итак, каждый переход через в направлении повышения частоты даёт скачок фазы на а переход через на .

Для четырёхполюсников лестничного типа (рис. 3.7) расположение нулей на оси частот определяется характером элементов связи между контурами и характером элементов Каждая емкостная связь даёт один нуль при а индуктивная — при Наличие нулей при со и шфоо возможно

только в случае, если хотя бы один из элементов связи представляет собой последовательное соединение или хотя бы один из элементов представляет собой параллельное соединение

Рис. 3.7. Четырёхполюсник лестничного типа

Рис. 3.8. Двухзвенный фильтр нижних частот

При одной из частот или соответствующих последовательному резонансу в одном из элементов или параллельному резонансу в одном из элементов связь между контурами обрывается и обращается в нуль.

Поясним приведённые положения некоторыми примерами.

Рассмотрим двухзвенный фильтр нижних частот (рис. 3.8). Пренебрегая активными сопротивлениями, получим систему уравнений:

При составлении этих уравнений напряжениям, создаваемым токами, направленными навстречу основному току данного контура, приписан знак минус. Полагая для простоты и умножая все коэффициенты в системе (3.3) на в соответствии с выражением (3.4), получим

Минор в данном случае равен

Сопротивление элемента, с которого снимается напряжение,

Подставляя все найденные величины в будем иметь

В рассматриваемом примере коэффициент передачи не имеет нулей (если не считать Полюсы коэффициента передачи являются корнями уравнения

где

Таким образом,

Отсюда частоты, соответствующие полюсам коэффициента передачи:

Представив в форме

находим, что при изменении частоты в пределах от до фаза коэффициента передачи

Модуль определяется выражением

Рис. 3.9. Модуль и фаза коэффициента передачи четырёхполюсника (см. рис. 3.8)

Графики модуля и фазы, выраженных через приведены на рис. 3.9.

Для фильтра высших частот (рис. 3.10) подобным же образом находим

где

Рис. 3.10. Двухзвенный фильтр верхних частот

Графики модуля и фазы коэффициента передачи для фильтра высших частот изображены на рис. 3.11.

Рассмотрим в заключение схему, показанную на рис. 3.12. Нетрудно получить

Рис. 3.11. Модуль и фаза коэффициента передачи двухполюсника (см. рис. 3.10)

Коэффициент передачи равен нулю при частоте т. е. при параллельном резонансе контура, содержащего а полюс при частоте соответствующей последовательному резонансу.

Графики модуля и фазы, выраженных через — приведены на рис. 3.13 (при

(кликните для просмотра скана)