§ 3.4. Двухполюсники. Теорема о реактивном сопротивлении

Основываясь на выражении (3.11), а также на положительности энергетических функций, можно сделать полезные заключения о характере частотной зависимости входного сопротивления двухполюсника.

Прежде всего отметим, что как определитель [см. ф-лу (3.4)], так и минор [см. ф-лу (3.12)] представляют собой суммы произведений, составленных из элементов при различных комбинациях индексов и Представив выражение (3.2) для элемента в несколько видоизменённой форме:

можем произведение любых двух элементов привести

Как видно из этого выражения, вещественная часть произведения представляет собой функцию, чётную относительно , а мнимая — нечётную.

Это положение нетрудно обобщить на произведение, состоящее из любого числа сомножителей вида (3.2).

Отсюда следует, что и вещественная часть отношения т. е. вещественная часть входного сопротивления любого двухполюсника [см. ф-лу (3-11)], является функцией чётной, а мнимая часть — нечётной относительно частоты. То же относится и к входной проводимости, равной отношению

Входную проводимость двухполюсника можно выразить через энергетические функции Воспользуемся для этого системой ур-ний (3.3), положив

Умножим первое из этих уравнений на сопряжённую амплитуду второе уравнение — на после чего просуммируем полученные уравнения. Тогда, используя и получим

Отсюда находим входной ток как величину, сопряжённую

Разделив это выражение на найдём проводимость двухполюсника в виде

Рис. 3.1. Графики, поясняющие для простейших цепей положение о знаке наклона частотной зависимости реактивного сопротивления

Но не зависит от фазы Поэтому можно считать чисто веществешой величиной.

Поскольку всегда положительна, из полученного выражения следует, что вещественная составляющая проводимости (и сопротивления) пассивного двухполюсника не может принимать отрицательных значений.

Докажем теперь, что наклон кривой, выражающей зависимость сопротивления чисто реактивной цепи от частоты, всегда положителен. В случае простейших комбинаций из элементов

и с это положение очевидно (рис. 3.1). Для доказательства его в общем случае при сколь угодно сложной цепи, составленной из индуктивностей и емкостей (без потерь), обратимся опять к системе ур-ний (3.3), полагая амплитуду независимой от частоты. Продифференцировав уравнения этой системы по и обозначая производную штрихом, получим:

Здесь

Поскольку система ур-ний (3.30) отличается от ур-ний (3.3) только правыми частями, для решения её относительно можно воспользоваться ф-лой (3.8), заменив в ней на

Но в соответствии с выражением (3.9)

Таким образом, выражение (3.32) переходит в следующее:

Для цепи без потерь, составленной из чисто реактивных элементов, амплитуда тока в любой из ветвей равна взятой с обратным знаком сопряжённой амплитуде

Поэтому

С другой стороны, обозначив входное сопротивление чисто реактивной цепи через можем написать

откуда прямым дифференцированием по находим производную:

Подставив это выражение в левую часть и решая его относительно получим:

Теперь остаётся использовать выражение (3.31) для кроме того, учесть, что производные при отсутствии потерь равны

Тогда в соответствии с выражениями (3.26) и (3.27) получим

откуда

Учитывая, наконец, выражение (3.29), которое для цепи без потерь принимает вид

окончательно получим

Как и в величину следует считать вещественной. Из выражения (3.36) следует, что поскольку энергетические функции и всегда положительны, наклон кривой, выражающей зависимость от частоты, для двухполюсника без потерь может принимать отрицательного значения.

Это положение иногда называют тёдрёмдй рёактивндм сопротивлении.

Некоторые дополнительные особенности чисто реактивных цепей могут быть выявлены путём преобразования выражения (3.11).

Входящие в это выражение определитель и минор можно представить в виде полиномов от Степени этих полиномов нетрудно установить. Например, определитель А, равный сумме произведений вида [см. ф-лу (3.4)] и т. д., при подстановке (в случае )

будет приводить к наивысшей положительной степени равной и к наивысшей отрицательной степени, также равной Минор состоящий из суммы произведений вида [см. ф-лу (3.12)], приводит к степеням от Для исключения отрицательных степеней умножим в матрице все элементы на т. е. заменим элементы на элементы

Для новой матрицы определитель будет, очевидно, равен

а минор

Обозначив и подставляя в выражение (3.11), получим

Нетрудно видеть, что представляют собой полиномы, содержащие только положительные степени причём наивысшая степень для равна а для она равна

Можно, следовательно, входное сопротивление произвольной чисто реактивной цепи представить в виде рациональной дроби:

Полином, стоящий в числителе правой части, можно представить в виде произведения:

где

являются корнями уравнения Полином в знаменателе правой части

где являются корнями уравнения Таким образом,

где

Переходя обратно от можем представить входное сопротивление в форме

Можно сказать, что точки, соответствующие частотам являются нулями входного сопротивления а частоты полюсами. Для проводимости наоборот, точки, соответствующие являются полюсами, а соответствующие нулями. Физически это означает, что при частотах цепь настраивается в последовательный резонанс и, если нет потерь, входное сопротивление обращается в нуль. Частотам соответствует резонанс токов, при котором входное сопротивление обращается в бесконечность. Из выражения (3.41) следует, что задание резонансных частот реактивного двухполюсника — нулей и полюсов — однозначно определяет с точностью до постоянного коэффициента сопротивление двухполюсника на всём частотном диапазоне.

Из доказанной выше положительности наклона кривой следует, в частности, что нули и полюсы входного сопротивления чередуются, т. е. выполняется условие

Действительно, если допустить наличие на оси частот последовательно двух нулей или двух полюсов, то кривая

должна была бы между указанными точками изменить знак: наклона, что невозможно. Поэтому изменение для реактивного двухполюсника следует представлять себе в виде функции, изображённой на рис. 3.2.

На нулевой и бесконечных частотах может обращаться в нуль или в бесконечность, смотря по структуре цепи.

Рис. 3.2. Характер частотной зависимости сопротивления реактивного двухполюсника

Основываясь на выражении (3.41), можно находить строение и параметры цепи, удовлетворяющей заданному расположению нулей и полюсов на оси частот. Подобная задача, часто встречающаяся в технике проводной связи, всё чаще возникает и в импульсной технике, в частности при расчёте цепей для, формирования импульсов. 1

Путём разложения правой части выражения (3.41) на простейшие дроби, можно привести его к виду

где постоянные, определяемые по заданным значениям нулей и полюсов, т. е. по резонансным частотам Именно

где

Каждый член выражения (3.43) можно отождествить с одной из простейших комбинаций из элементов Действительно, имеет смысл сопротивления индуктивности

член можно рассматривать как сопротивление конденсатора, емкость которого

Рис. 3.3. Звено, соответствующее каждому члену выражения (3.43)

Рис. 3.4. Схема двухполюсника, соответствующего заданным резонансным частотам и разложению (3.43)

Каждое из последующих слагаемых соответствует звену, изображённому на рис. 3.3. Элементы и звена определяются из условия:

откуда

Схема двухполюсника, соответствующего заданным резонансным частотам и разложению (3.43), изображена на рис. 3.4.

Эта схема не единственно возможная для получения заданного входного сопротивления.

Если разложить на простейшие дроби не выражение (3.41), а обратное ему выражение для входной проводимости реактивной цепи, то последнему будет соответствовать схема, показанная на рис. 3.5.

Рис. 3.5. Вариант схемы двухполюсника, соответствующего заданным резонансным частотам и входному сопротивлению

Элементы этой схемы будут определяться выражениями:

Не останавливаясь более подробно на синтезе цепей по заданным частотным характеристикам, обратимся к вопросу о расположении нулей и полюсов входного сопротивления реального двухполюсника с потерями.

Из предыдущего ясно, что рассматриваемое как функция вещественной переменной со, при наличии активных сопротивлений в элементах схемы не может обращаться ни в нуль (при последовательных резонансах), ни в бесконечность (при параллельных резонанса Можно поэтому считать, что на оси частот функции для реального пассивного двухполюсника не имеют ни нулей, ни полюсов.

Рис. 3.6. Контур, содержащий сопротивление потерь

Если же рассматривать как функцию комплексной переменной (на плоскости ), то в некоторых точках этой плоскости сопротивление может обращаться в нуль или бесконечность. Для цепей с потерями эти точки могут быть расположены только слева от оси т. е. при отрицательных значениях вещественной части Действительно, при схеме двухполюсника, изображённой на рис. 3.4, для того, чтобы обращалось в бесконечность, нужно, чтобы сопротивление одного из контуров (с учётом потерь) обратилось в бесконечность. Введя в подобный контур сопротивление потерь (рис. 3.6), получим

Это сопротивление обращается в бесконечность при значениях (полюсах), определяемых как корни уравнения

откуда

где

Поскольку для пассивных контуров затухание положительно, вещественная часть всегда отрицательна. Таким образом, особые точки для а следовательно, и особые точки для двухполюсника в целом могут быть расположены только в левой полуплоскости

Такой же результат получается и для нулей . В этом случае удобнее исходить из эквивалентной схемы двухполюсника, изображённой на рис. 3.5. Входное сопротивление обращается в нуль при значениях соответствующих нулю сопротивления одной из цепочек При введении сопротивления потерь последовательно с получим те же значения что и при рассмотрении полюсов для схемы рис. 3.6.

Итак, можно считать установленным, что в случае двухполюсников с потерями, полюсы и нули входного сопротивления (и проводимости) могут быть расположены только в левой полуплоскости т. е. при

Этот же вывод может быть сделан непосредственно из рассмотрения выражения (3.11). Как так и при наличии в составе активных сопротивлений могут обращаться в нуль только в точках, лежащих в левой полуплоскости .