§ 5.3. Хаотическая последовательность импульсов

Пусть задана нерегулярная функция образованная беспорядочным повторением импульсов произвольной, но одинаковой формы в промежутке времени Говоря об импульсах, мы имеем в виду произвольные функции, удовлетворяющие требованию абсолютной интегрируемости (иными словами, обладающие конечной энергией). Модуль спектральной плотности одинаковый для всех импульсов независимо от моментов их возникновения предполагается заданным. Моменты времени считаем случайными и равновероятными в заданном промежутке (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Хаотическая последовательность одинаковых импульсов

Таким образом, в выражении для спектральной плотности импульса:

фаза может рассматриваться как случайная величина, равновероятная в интервале от до

Желательно установить связь между энергетическим спектром результирующей функции и спектральной плотностью элементарного импульса при заданном среднем за 1 секунду числе импульсов

С этой целью образуем для каждого импульса периодическую последовательность, взяв за период длину интервала Амплитуда составляющей с частотой этой последовательности (см. § 1.5) равна а мгновенное значение этой составляющей выразится в виде:

Суммируя подобные составляющие периодических последовательностей для всех индексов от 1 до К (где К — число импульсов в интервале и учитывая случайность фаз получим при достаточно большом К (см. предыдущий параграф) нормально распределённую случайную величину с дисперсией

Учитывая, что среднее число импульсов в 1 секунду равно найдем

Полученная величина имеет смысл усреднённой по времени мощности, связанной с составляющей сол Для определения остаётся перейти от линейчатого спектра, возникшего из-за периодического повторения каждого импульса (с периодом к сплошному спектру, соответствующему хаотической последовательности импульсов Учитывая, что периоду соответствует частотный интервал между соседними гармониками равный относя а к полосе найдём энергетический спектр функции

Полученная формула показывает, что структура энергетического спектра хаотической последовательности импульсов совпадает с структурой квадрата модуля спектральной плотности отдельных импульсов, образующих

Из вышеизложенного можно также придти к заключению что из хаотической последовательности импульсов принципиально невозможно выделить гармоническое колебание с дискретной частотой и конечной амплитудой. Действительно, как. это вытекает из ф-лы (5.19), при конечном значение

Иначе обстоит дело с постоянной составляющей которая может не равняться нулю. Величина этой составляющей из очевидных соображений и в согласии с ф-лой (1.46) равна

Обратимся к вопросу о законе распределения для величины Учитывая, что представляет собой суммы независимых случайных величин, соответствующих нормально распределённым суммам с дисперсиями [см. ф-лу (5.19)]. приходим к выводу, что и результирующая функция подчиняется нормальному закону распределения. Дисперсия величины равная сумме дисперсий слагаемых, на основании ф-л (5.1) и (5.20), определяется выражением:

В пределе при получим

Учитывая сделанное выше замечание о тождественности усреднения по системам и по времени, средний квадрат отклонения от его среднего значения (флуктуации) можно также найти с помощью выражения:

В радиотехнической практике нормальный закон распределения наиболее полно реализуется, как известно, в электрических флуктуациях, связанных с тепловым движением частиц в проводниках и с дробовым эффектом в электронных лампах.

Однако ряд сигналов, например речь, музыку и некоторые другие сигналы, часто удобно трактовать как случайные процессы с распределением, близким к нормальному.