ПРИЛОЖЕНИЕ II. ПРИМЕЧАНИЯ

1. В книге применяется наиболее распространённая в настоящее время форма записи преобразования Фурье. Ей можно придать несколько другой вид:

где

Эти формулы удобны тем, что в них перед интегралами нет никаких коэффициентов.

Придав выражению вид

убеждаемся, что комплексной амплитудой элементарных колебаний, совокупностью которых согласно выражению представлена функция является величина

а спектральной плотностью комплексной амплитуды (с размерностью является величина

Некоторые авторы пользуются другими формами записи преобразования Фурье и другими обозначениями для спектральной плотности амплитуды. Особенно часто приходится встречаться с такой формой записи:

Этой форме записи эквивалента тригонометрическая:

где спектральной плотностью амплитуды имеющей здесь размерность является величина

Такая запись удобна тем, что по своей структуре она совпадает с рядом Фурье для соответствующей периодической функции:

где

Встречаются и другие формы записи преобразования Фурье, например,

или

Выбором одинаковых козфициентов в выражениях и (11.13) подчёркивается взаимная симметрия формул прямого и обратного преобразования.

Применяемая в книге форма записи имеет ряд преимуществ. Одно из них — идентичность коэффициентов с коэффициентами в формулах преобразования Лапласа (см. гл. 2), другое — удобство запоминания коэфициентов в формулах, выражающих теорему Релея [см. ф-лу (1.50) и п. 3 настоящего приложения].

2. Определённая условиями (1.33) функция в пределе превращающаяся в идеальный единичный импульс, называется также -функцией или функцией Дирака. В сущности идея -функции использовалась уже очень давно. Так, например, решение задачи о колебаниях простой колебательной системы с одной степенью свободы под действием произвольной внешней силы было изложено Релеем (1877 г.) в форме, основанной по существу на разложении внешней силы по -функциям. Дирак широко применил -функцию в теоретической физике.

В соответствии с определением -функции:

любая функция может быть представлена в виде:

Это равенство можно рассматривать как представление функции в виде совокупности следующих один за другим элементарных импульсов Каждый импульс существует только в момент площадь импульса равна т. е. произведению ординаты функции в рассматриваемый момент на элемент времени.

Применение -функции связано с некоторой математической нестрогостью, но имеет преимущество в краткости и наглядности перед совершенно строгими приёмами вычисления.

3. Формула (1.50), иногда называемая теоремой Релея (в теории колебаний) или равенством Парсеваля (в теории интеграла Фурье), легко обобщается на случай двух функций времени с спектральными функциями соответственно

Равенству (11.16) можно придать очевидное физическое содержание, рассматривая как напряжение на входе двухполюсника, как силу тока, проходящего через этот двухполюсник. Левая часть равенства (11.16) выражает непосредственно через функции энергию, подведённую к двухполюснику, правая часть — ту же энергию в виде суммы энергий отдельных спектральных составляющих. При этом энергия сосредоточенная в интервале выражается формулой:

Коэффициенты в равенстве (1.50) зависят от формы записи преобразования Фурье. Используя форму записи, принятую в книге, можно выражению (1.50) придать особенно простой и симметричный вид. Непосредственно из ф-лы (1.50) и согласно выражению (1.2):

получим:

Формулам (II.5) соответствует равенство:

Если комплексную амплитуду элементарного колебания представить в форме т. е. спектральную плотность комплексной амплитуды приравнять (без множителя 2) и соответственно формулы преобразования Фурье представить в виде:

то равенство (1.50) примет форму:

точно соответствующую формуле теории рядов Фурье:

при

4. Соотношения (2.4) и (2.5) лежат в основе современного операционного исчисления.

Операционное исчисление может быть также основано на видоизменённых преобразованиях Лапласа, определяемых формулами:

Преобразование в форме (11.24) применяется в большинстве старых работ по операционному исчислению; оно приводит к формулам символического метода Ващенко-Захарченко и Хевисайда. И в настоящее время многие (преимущественно электротехники) отдают предпочтение преобразованиям Лапласа в форме выражений (11.24) и (11.25). Формулу (11.24) часто называют уравнением Карсона, ф-лу (11.25) - интегралом Бромвича.

«Изображение» по Хевисайду может быть получено из «изображения» по Лапласу простым умножением на

В символическом исчислении величина рассматривается как оператор дифференцирования

При этом дифференциальное уравнение системы, на которую действует внешняя сила может быть написан в виде:

Если внешняя сила представляет собой единичный скачок

получаем уравнение (при

«символическое» решение которого есть

Это символическое решение является изображением х по Хевисайду. Реакция системы на единичный скачок (называемая часто переходной функцией) играет большую роль в теории нестационарных процессов. В частности, она входит в формулу наложения (интеграл Дюамеля) в её наиболее распространённом виде. Именно эти обстоятельства и являются поводом для предпочтения, отдаваемого иногда преобразованиям в виде (11.24) и (11.25).

Конечно, ур-ние (11.29) можно решать и путём нахождения изображения х по Лапласу. Для этого необходимо от выражения (11.29) перейти к уравнению изображений, представив их изображениями:

тогда

Это изображение получается из изображения х по Хевисайду делением последнего на

При пользовании таблицами, в которых сопоставлены функции и их изображения, необходимо учитывать, какие преобразования положены в основу таблицы. Это не вызывает затруднений, так как изображения, единичного скачка и -функции обычно помещаются в начале таблицы.

По Хевисайду изображением единичного скачка является единица, а изображением -функции — величина по Лапласу изображением единичного скачка является а изображением -функции — единица.

5. Разумеется, ф-ла (5.5) видоизменяется при изменении формы записи преобразования Фурье.

Если применять ф-лы и будем иметь

если же пользоваться ф-лами (11.20) и (11.21), то

Рассматривая множество интервалов и усредняя величину по этим интервалам, определим наглядной формулой:

6. Если задана, то ур-ние (6.1) не позволяет однозначно определить функции так как одному и тому же значению может соответствовать неограниченное количество пар значений при которых (6.1) и (6.2) будут выполняться.

Однако, если и медленно меняющиеся функции, как это оговорено в § 6.1, неоднозначности можно избежать при условии, что наряду с ур-нием (6.1) справедливо равенство:

Из этого условия обычно исходят в теории нелинейных систем, применяя представления о медленно меняющихся амплитудах и фазах.

В большинстве случаев, когда речь идёт о модулированных колебаниях, удаётся найти непосредственно функции и таким образом, вопроса о неоднозначности определения этих функций по функции вообще не возникает.

Что касается величины то она обычно определяется непосредственно, как частота колебаний некоторого «задающего» генератора, входящего в рассматриваемую систему. Определение так, чтобы в не оставалось члена, линейно нарастающего со временем не всегда целесообразно (например, в теории режимов биений при захватывании), однако, в случаях, рассматриваемых в книге, такое определение вполне соответствует существу задачи.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)