§ 5.5. Функция корреляции для нерегулярных сигналов

Как отмечалось выше, статистические свойства нерегулярного сигнала, представляющего собой стационарный вероятностный процесс, не зависят от выбора

При рассмотрении характера изменения во времени в реальной системе можно заметить, что между мгновенными значениями сигнала в моменты существует некоторая связь, тем более сильная (явная), чем меньше длина интервала отделяющего от Задание с какой-то степенью вероятности предопределяет и причём эта взаимозависимость определяется только интервалом а не выбором Величина интервала в пределах которого заметна взаимосвязь между зависит от спектрального состава отдельных функций (импульсов), образующих нерегулярный процесс или, что то же, от длительности указанных импульсов. Чем больше эта длительность, тем «плавнее» ход функции тем с большей вероятностью и на большем интервале можно предсказать характер этой функции, тем больше связь между В теории вероятностей «сила связи» между двумя случайными величинами характеризуется так называемым коэффициентом корреляции.

Общее выражение для коэффициента корреляции имеет вид:

Здесь дисперсии для средние их значения (математические ожидания).

Если взаимно независимые, случайные величины, то

Следовательно, для полностью независимых случайных величин В зависимости от силы связи изменяется в пределах Значения достигаются только в случае, когда связаны линейной зависимостью.

Изучение корреляционных свойств нерегулярных процессов основано на работах Колмогорова, Хинчина и ряда других советских математиков. Разработанная ими теория позволяет представить коэффициент корреляции между в виде:

Выражение (5.31) вытекает из ф-лы (5.30), если учесть что при стационарных процессах математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени, а усреднение по системам эквивалентно усреднению по времени.

Из первого положения следует, что

а из второго положения, что или представляет собой постоянную составляющую (среднее значение) функции

Обозначим:

Из определения следует, что представляет собой мгновенное значение отклонения сигнала от среднего значения

В новых обозначениях выражение (5.31) принимает вид:

На основании упомянутой выше эргодической теоремы (§ 5.1) операцию усреднения произведения можно выполнять с помощью выражения:

Функция

называется функцией корреляции для процесса [или для процесса после исключения постоянной составляющей

Из определений (5.32) и (5.34), а также из независимости математического ожидания от времени следует, что для стационарных процессов являются функциями чётными относительно Ясно также, что

Характер функции обусловлен спектральным составом процесса В наглядной форме это удобно показать на

примере простейшего периодического сигнала — гармонического колебания. Если

то

Итак, для гармонического колебания функция корреляции является также гармонической, обладающей той же частотой, что и При функция есть не что иное, как средний квадрат гармонического колебания.

Отметим, что при функция что, однако, нельзя истолковать как отсутствие связи между двумя значениями косинусоиды, разделёнными интервалом Из этого примера видно, что для суждения о структуре функции необходимо исследовать характер функции при изменении интервала от нуля до бесконечности. Для нерегулярных сигналов, в составе которых нет гармонических колебаний с конечной амплитудой, функция корреляции, как правило, стремится к нулю при

В общем виде связь между функцией корреляции и энергетическим спектром может быть установлена на основе теоремы Хинчина.

Применительно к интересующей нас задаче указанная теорема приводит к выражению:

Не приводя здесь доказательства соотношения (5.36), ограничимся весьма простым и наглядным, хотя и не строгим, выводом, основанным на представлении нерегулярного сигнала в виде ряда Фурье.

Полагая, что не содержит постоянной составляющей и дискретных колебаний, в соответствии с выражением (5.24) можем написать:

Ряд (5.38) справедлив для всех значений удовлетворяющих условию поскольку ряд (5.37) представляет функцию в интервале Так как выбор произволен, приведённое выше условие всегда можно выполнить при любых конечных значениях

Ясно также, что коэффициенты определяются длиной интервала и не зависят от сдвига на величину Для определения функции корреляции перемножим ряды (5.37). и (5.38) и применим ф-лу (5.33). Интегрируя почленно в пределах от до и учитывая ф-лы (5.27) и (5.35), получим

При в соответствии с ф-лой (5.33) придём к нужному результату:

Если полоса частот устройства, на выходе которого наблюдается величина ограничена пределами переходит в следующую:

Учитывая, что подинтегральная функция в последней формуле является чётной относительно можем написать

Как видим, полученное выражение представляет собой интеграл Фурье (обратное преобразование), устанавливающий связь между энергетическим спектром нерегулярной функции и функцией корреляции для

Очевидно должно существовать и прямое преобразование Фурье для по аналогии с выражением (1.1) можем написать 2)

Итак, функция корреляции и энергетический спектр нерегулярного сигнала (стационарный процесс) связаны соотношениями:

Для практических целей особо важное значение имеет соотношение (5.42), так как часто определяется проще, чем В последнее время всё большее распространение находит способ определения энергетического спектра, основанный на отыскании функции корреляции.

Помимо своего значения как средства для определения функция корреляции сама по себе является существенной характеристикой исследуемого сигнала. Быстрота, с которой функция корреляции убывает с увеличением даёт некоторое представление о структуре

Некоторые приложения приведённых выше соотношений к исследованию нерегулярных сигналов даются ниже.