§ 9.2. Общее решение

Пусть на входе произвольного линейного четырёхполюсника, коэффициент передачи которого действует электродвижущая сила с мгновенной частотой, определяемой выражением:

Здесь медленная функция времени; амплитуда эдс считается постоянной и равной единице.

Подобную электродвижущую силу в соответствии с § 6.1 удобно записывать следующим образом:

где

Основываясь на способе аналитического продолжения (см. гл. 8) и применяя представим напряжение на выводе четырёхполюсника с помощью следующего общего выражения:

Здесь дающие в сумме функцию определяются из условия, что спектр функции заключается

в пределах от до а спектр функции пределах от дооо (см. § 8.4). Величина и постоянные определяются параметрами цепи, а также частотой эдс [см. ф-лы (8.33) и (8.34), а также § 8.5].

Для упрощения анализа положим, что частотный спектр функции фактически не выходит за пределы е. Чтобы это условие выполнялось, модулирующая функция должна отвечать вполне определённым требованиям, которые уточнены ниже. Считая эти требования выполненными, можем искать выходное напряжение в виде:

Имея в виду выражение (9.3), получаем:

где -полином, получающийся в результате последовательного дифференцирования.

Подстановка выражений (8.33) и (9.6) в позволяет получить развёрнутое выражение для выходного колебания в виде:

В некоторых практических задачах, как например, при заведомо медленном изменении частоты в пределах небольшой части полосы пропускания цепи, достаточно учитывать только первые два члена в фигурных скобках выражения (9.7). Если условие о медленности изменения частоты не выполняется, то для получения удовлетворительной точности приходится учитывать большое число членов в выражении (9.7).

Целесообразно поэтому видоизменить запись (9.7), сгруппировав строки по восходящим степеням и восходящим порядкам производных от

(см. скан)

Выражения в квадратных скобках представляют собой разложение по степеням расстройки соответственно функций

Можно поэтому окончательное решение записать в следующей форме:

Напомним, что здесь представляют собой коэффициент передачи цепи для мгновенной частоты определяемый обычным образом (в установившемся режиме). Производные определяются дифференцированием указанного коэффициента передачи по расстройке рассматриваемой статически.

Полученное выражение полностью решает задачу, так как искомое выходное напряжение выражено: через электродвижущую силу через функцию и её производные, через функцию и её производные.

При сохранении одного первого члена в квадратных скобках выражения (9.9) получается так называемое квазистационарное решение. При достаточно малых (по сравнению с полосой пропускания цепи) девиациях и медленном изменении частоты, это решение совпадает с суммой первых двух членов в выражении (9.7). В этом легко убедиться, если разложить по степеням кодф и отбросить все члены, за исключением первых двух.

Уточним теперь требования к функции необходимые достаточные для сходимости выражения (9.9). Непосредственно из этого выражения видно, что должна иметь конечные производные всех порядков. Это условие необходимо, но недостаточно. Достаточным является приведённое выше условие, чтобы функция связанная с соотношением обладала спектром, заключённым в пределах от до . Для периодической функции это условие сводится к неравенству где — наивысший порядковый номер боковой частоты, который следует принимать в расчёт при определении фактической ширины спектра функции основная частота функции При гармонической модуляции с большими индексами фактическая ширина спектра определяется соотношением!):

Пмакс

и при

Ниже будет показано, что в некоторых важных для практики задачах требования к могут быть значительно облегчены. Кроме того, если в полосе прозрачности избирательной системы функция близка к линейной, то в решении (9.9) могут быть опущены все члены, содержащие производные выше первой.