§ 6.2. Связь между спектром модулирующей функции и спектром модулированного колебания при амплитудной модуляции

Пусть на вход амплитудного модулятора подаётся напряжение представляющее собой непериодическую функцию времени, удовлетворяющую условиям § 1.1. Тогда может быть представлена в виде интеграла:

или

где спектральная плотность модулирующего напряжения.

Полагая в выражении (6.1) вещественной функцией пропорциональной можем написать:

где

Основываясь на выражении (6.3), представим «огибающую» следующим образом:

или

где спектральная плотность огибающей.

Сделанная выше оговорка о «медленности» изменения огибающей практически означает, что спектр группируется в области частот 2, низких по сравнению с несущей частотой Можно поэтому в выражении (6.5) пределы интегрирования и заменить на и Подставив в выражение (6.4), получим:

Из выражения (6.6) отчётливо выявляется известное свойство амплитудной модуляции: спектр модулированного колебания состоит из двух полос «боковых частот» симметричных по отношению к частоте несущего колебания. Симметрия распространяется на амплитуды и фазы.

Спектральная плотность модулированного колебания, как это вытекает из выражения (6.6), связана с спектральной плотностью огибающей простым соотношением:

Таким образом, при амплитудной модуляции спектр модулированного колебания линейно связан с спектром модулирующей функции. Линейность проявляется в следующих свойствах модулированного колебания:

1. Амплитуды колебаний боковых частот пропорциональны амплитудам составляющих функции и

2. Отдельные гармонические составляющие не влияют друг на друга при модуляции и поэтому в спектре модулированного колебания не возникают комбинационные боковые частоты вида

Образование спектра боковых частот при амплитудной модуляции поясняется рис. 6.1, на котором кривая соответствует модулю спектральной плотности функции кривая тому же, при представлении и в виде выражения (6.3), а кривая модулю спектральной плотности

модулированного колебания. Спектр может быть получен из спектра модулирующей функции простым переносом начала отсчёта 2 на шкале частот из нулевой точки в точку и умножением на коэффициент ропорциональности К.

Рис. 6.1. Образование спектра боковых частот при амплитудной модуляции: модуль спектральной плотности модулирующей функции, модуль спектральной плотности модулированного колебания

Отмеченная выше линейная связь между спектрами модулирующего сигнала и модулированного колебания определяется особенностью функции корреляции для амплитудно-модулированного колебания.

Пусть и и соответственно представляют собой произвольные периодическую или нерегулярную функцию времени [в последнем случае — стационарный случайный процесс (см. § 5.1)].

Усредняя выражение (6.4), согласно ф-ле (5.34) можем написать:

Второе слагаемое в правой части этого выражения, представляющее собой произведение медленно меняющейся функции и высокочастотной функции после усреднения (по времени) обращается в нуль. В первом слагаемом множитель от времени не зависит является параметром). Можно, следовательно, написать:

В соответствии с выражением (5.33) множитель от представляет собой функцию корреляции для гармонического

Смодулированного) колебания с частотой и амплитудой> равной единице. Обозначим эту функцию через

Обратимся ко второму множителю в выражении (6.8). Выделяя из состава огибающей постоянную слагающую можем написать (см. § 5.1)

где отклонение огибающей от среднего значения причём

Величину можно рассматривать как функцию корреляции огибающей, а как функцию корреляции модулирующего сигнала Обозначим первую через вторую через

На основании равенства (6.9) выражение (6.8) может быть приведено к виду:

Полученный результат позволяет сформулировать важное положение: для определения функции корреляции амплитудно-модулированного колебания достаточно к функции корреляции несущего колебания добавить произведение

То обстоятельство, что линейно складывается с А независимо от структуры модулирующей функции и и является выражением отмеченной выше линейности связи между спектрами функций В частности, при гармонической модуляции, когда

причём функция корреляции для модулированного колебания имеет тот же вид, что и само колебание

Действительно, для несущего колебания функция корреляции, равна а для функции корреляции огибающей получим:

Следовательно, по ф-ле (6.10), имеем

При получим

Это выражение есть не что иное, как средний квадрат модулированного колебания. Если соответствует току в электрической цепи, то представляет собой с точностью до величины сопротивления цепи среднюю мощность модулированного колебания.

Если из спектра тонально-модулированного колебания удалить несущую частоту (балансная модуляция), т. е. положить получим:

а

Выражение (6. 8) потребуется в дальнейшем при исследовании распределения мощности в спектре частотно-модулированного колебания.