§ 3.6. Связь между вещественной и мнимой частями коэффициента передачи

Имея в виду произвольный линейный четырёхполюсник потерями), представим коэффициент передачи в форме

где - соответственно модуль и фаза, вещественная и мнимая части коэффициента передачи.

Нас интересует в конечном итоге взаимная связь между модулем и фазой. В качестве подготовительного этапа удобно решить сперва более простую задачу о взаимосвязи между

Перейдём к переменной и рассмотрим функцию плоскости Напомним, что для перехода от к достаточно (см. § 2.3) заменить на в выражении для

Для дальнейшего рассмотрения существенно следующее положение: коэффициент передачи пассивного четырёхполюсника с потерями может иметь особые точки (полюсы) только в левой полуплоскости Как и в случае двухполюсника (см. § 3.4), это положение непосредственно вытекает из того, что входящий в выражения (3.11) и (3.13) определитель при наличии активного сопротивления хотя бы в одном из элементов может иметь нули только при условии

Следует иметь в виду, что, в отличие от двухполюсника, нули коэффициента передачи для четырёхполюсника могут быть в принципе расположены как в левой, так и в правой полуплоскости Это обстоятельство, как будет показано в следующем параграфе, существенно для взаимосвязи между модулем и фазой. При рассмотрении же соотношения между достаточно условия о расположении полюсов функции в левой полуплоскости

Считая это требование выполненным, можем воспользоваться тождеством

где замкнутый контур С, состоящий из отрезка оси и дуги проведён так (рис. 3.14), чтобы в него не входили особые точки функции

Тождество (3.49) не нарушится, если подинтегральную функцию разделить на при условии обхода точек справа, как это показано на рисунке. Таким образом, можно написать

или в более удобной для анализа форме

Рис. 3.14. Пояснения к выводу ф-л (3.53) и (3.54), выражающих связь между вещественной и мнимой частями коэффициента передачи

Рис. 3.15. То же, что и на рис. 3.14

Полагая можем считать

Разобьём контур интегрирования на отрезки оси и дуги: и (рис. 3.15). Учитывая, что на оси функция обращается в перепишем выражение (3.51) в форме

Пусть радиус дуги стремится к бесконечности, а радиусы малых дуг — к нулю.

При последний интеграл в выражении (3.52) обращается в нуль, поскольку модуль дроби убывает не медленнее, чем а при увеличении остаётся ограниченным. Интегралы вдоль дуг малого радиуса легко определяются. При функцию на этих участках можно приравнять, соответственно, Следовательно, четвёртый и пятый интегралы в выражении (3.52) равны:

При интегрировании по дуге когда в первом интеграле можно отбросить слагаемое во втором интеграле для дуги когда наоборот, можно отбросить слагаемое

Учитывая, что на дугах и получим:

Так как есть функция, сопряжённая функции в соответствии с выражением (3.48) найдём:

Подставляя найденные выражения в ф-лу (3.52) и учитывая, что при первые три интеграла могут быть объединены в один интеграл с пределами от до можем написать:

Выделив в первом интеграле вещественную и мнимую части окончательно получим:

Второе из этих тождеств есть результат нечётности функции а первое может быть приведено к виду

Подобным же образом, взяв в выражении (3.50) не разность, а сумму двух интегралов, можно вывести формулу для вещественной части коэффициента передачи

Таким образом, мнимая часть коэффициента передачи при частоте выражается через вещественную причём последняя интегрируется в пределах от до То же относится и к вещественной части Иными словами, для точного определения одной из составляющих при

какой-либо частоте необходимо знать изменение другой составляющей на всём частотном диапазоне. Однако некоторые полезные выводы качественного характера могут быть сделаны непосредственно из рассмотрения выражений (3.53) или (3.54). Следует иметь в виду, что величины интегралов в указанных выражениях определяются характером изменения вблизи частоты так как при удалении со от абсолютная величина дроби быстро убывает. Функция изображена на рис. 3.16. Интеграл от этой функции, взятый в пределах от до равен нулю. Если поэтому допустить, что для некоторой физической цепи при то

Рис 3.16. Изменение подинтегральной функции в ф-лах (3.53) и (3.54) в зависимости от частоты

Следовательно, неизменную для всего диапазона частот вещественную составляющую коэффициента передачи можно получить только при обращении в нуль мнимой составляющей, т. е. если цепь состоит из чисто омических сопротивлений. Ясно также, что если вблизи рассматриваемой частоты функция У а изменяется мало, то определяемая ф-лой (3.53) мнимая часть проходит через своё минимальное значение, а участкам диапазона, где крутизна изменения максимальна, отвечают максимальные значения мнимой составляющей Используя в качестве простого примера схему рис. 3.17, получим (вблизи резонансной частоты):

Рис. 3.17. Простейший резонансный четырёхполюсник с потерями

где обобщённая расстройка, добротность контура, резонансная частота.

Рис. 3.18. Вещественная и мнимая составляющие коэффициента передачи схемы (см. рис. 3.17)

Графики изображены на рис. 3.18. В точке соответствующей максимальной крутизне кривой получается наибольшее (по абсолютной величине) значение