§ 1.3. Частотные спектры некоторых распространённых функций

Структура частотного спектра полностью определяется двумя характеристиками: амплитудной и фазовой, т. е. модулем и аргументом спектральной плотности

Определение указанных характеристик для функций отвечающих условию абсолютной интегрируемости, легко производится с помощью (1.13) и (1.14) и не требует каких-либо пояснений. Спектральные плотности — модуль и фаза для некоторых наиболее распространённых непериодических функций приведены в таблице в конце настоящей главы.

Остановимся лишь на некоторых частных случаях, существенных для дальнейшего изложения.

Рассмотрим, прежде всего, единичный скачок, т. е. функцию, определяемую условиями:

Для этой функции ввиду чего и (1.2) не могут быть применены непосредственно. Можно, однако, легко обойти это затруднение, если искомую спектральную плотность функции заданной выражением (1.25), представить как предел для функции при Тогда в соответствии с выражением (1.1) искомая спектральная плотность для единичного скачка определится выражением:

т. е.

Графики изображены на рис. 1.2. При нулевой частоте кривая спектральной плотности уходит в бесконечнссть. Это обстоятельство указывает на наличие в составе сплошного спектра функции дискретного колебания с конечной амплитудой, в данном случае при нулевой частоте. Это

следует понимать таким образом, что при принимает конечное значение.

Рис. 1.2. Модуль и фаза спектральной плотности для единичного скачка

Рис. 1.3. Представление единичного скачка в виде суммы двух функций:

Сказанное поясняется рис. 1.3, на котором единичный скачок представлен в виде суммы двух функций:

и

Подставив выражение (1.26) в получим

Второй интеграл в правой части выражения (1.28)

ввиду четности функции относительно равен:

Этот интеграл соответствует функции на рис. 1.3.

Первый интеграл при учёте особой точки (полюс) подинтегральной функции при равен 1/2 (см. § 2.2). Очевидно, это слагаемое соответствует функции на рис. 1.3. Итак, единичный скачок может быть наряду с выражением (1.28) представлен формулой

аналогичной интегралу Фурье.

Последнее выражение в наглядной форме выявляет смысл постоянства фазовой характеристики Из тригонометрической формы интеграла Фурье (1.19) можно сделать заключение: равенство означает, что для образования в момент скачка с бесконечно крутым фронтом требуется суммирование синусоид всех гармонических составляющих спектра с одинаковым знаком наклона в точке

Выражение (1.23) и ф-ла (1.26) позволяют получить формулу для спектральной плотности прямоугольного импульса.

Представив импульс в виде разности двух скачков — одного в момент и другого в момент (рис. 1.4), получим для первого скачка спектральную плотность

а для второго в соответствии с выражением (1.23)

Таким образом, спектральная плотность прямоугольного импульса

Рис. 1.4. Представление прямоугольного импульса в виде разности двух скачков, сдвинутых один относительно другого на величину длительности импульса

Нетрудно определить модуль этого выражения:

Наложение спектров двух скачков при сдвиге одного относительно другого на величину (рис. 1.4) должно приводить к компенсации тех гармонических составляющих, для которых фазовый сдвиг где любое целое число. Для составляющих, которым соответствует сот наоборот, модуль спектральной плотности удваивается.

Результат суммирования спектров поясняется рис. 1.5, на котором совмещены графики: модуля спектральной плотности единичного скачка (кривая и модуля для прямоугольного импульса с длительностью и амплитудой, равной единице (кривая

Если начало отсчёта времени совместить с серединой импульса (рис. 1.6), т. е. сдвинуть на величину — в сторону опережения, то для полученной функции, чётной относительно согласно выражениям (1.30) и (1.23) получим

Графики модуля и фазы для прямоугольного импульса изображены на рис. 1.7.

Рис. 1.5. Спектральные плотности для единичного скачка (кривая и для прямоугольного импульса (кривая II)

При перемене знака т. е. при фазовая характеристика равна те для импульса, симметричного относительно (рис. 1.6).

С удлинением импульса расстояние между нулевыми точками на оси абсцисс сокращается, и начальное значение (т. е. при возрастает. В пределе при

и спектр вырождается в спектр скачка при

Рис. 1.6. Прямоугольный импульс как чётная функция от

При укорочении импульса (и постоянстве амплитуды) падает. В пределе при точка соответствующая удаляется в бесконечность и спектральная плотность,

бесконечно малая по величине, становится равномерной в полосе частот от до

Если одновременно с уменьшением увеличивать амплитуду А по закону т. е. так, чтобы площадь импульса оставалась постоянной, то согласно спектральная плотность, одинаковая для всех частот, окажется равной

Рис. 1.7. Модуль (а) и фаза (б) спектральной плотности для прямоугольного импульса с длительностью

Таким образом, приходим к понятию об единичном импульсе, под которым подразумевается функция, заданная условиями:

Площадь такого импульса равна единице и, следовательно, спектральная плотность для всех частот равна единице.

Особенно удобно пользоваться единичным импульсом при исследовании действия коротких (по сравнению с постоянной времени цепи) импульсов на линейные системы.