§ 4.2. Решение, основанное на контурных интегралах

Пусть на входе линейной системы при — действует периодическая электродвижущая сила с основной частотой Вместо того, чтобы определять непосредственно выходное напряжение (в форме ряда Фурье), рассмотрим сперва эффект от включения при электродвижущей силы совпадающей с при

Возникающее при этом на выходе цепи напряжение, состоящее из искомого стационарного напряжения ист и переходного может быть представлено в виде интеграла:

Здесь коэффициент передачи цепи, получаемый из частотной характеристики заменой на а изображение, получаемое в результате применения к функции одностороннего преобразования Лапласа

В случае периодической функции состоящей из гармоник с частотами функция имеет особые точки лежащие на мнимой оси на расстоянии от точки Если в составе какие-либо гармоники отсутствуют, то соответствующие частотам этих гармоник точки на мнимой оси не являются особыми.

Коэффициент передачи как правило, имеет особые точки в левой полуплоскости переменного (реальные пассивные четырёхполюсники с потерями).

При интеграл (4.4), как известно, равен сумме вычетов во всех полюсах подинтегральной функции, расположенных на мнимой оси и слева от неё.

Нетрудно убедиться, что сумма вычетов в полюсах функции определяет установившееся (периодическое) выходное напряжение. Действительно, при рассмотрении включения гармонической эдс с частотой было показано, что стационарная часть полного выходного напряжения определяется вычетами в полюсах а переходная — в полюсах функции

Рис. 4.1. Замена пути интегрирования по прямой интегрированием по двум замкнутым контурам (при

При включении сложной периодической эдс , состоящей из ряда гармоник с частотами можно на основании принципа наложения установившееся суммарное напряжение на выходе линейной системы определять в виде суммы стационарных напряжений от каждой из гармоник эдс в отдельности.

Таким образом, для получения установившегося напряжения нужно просуммировать вычеты в особых точках Отсюда следует, что переходная часть выходного напряжения равна сумме вычетов в особых точках фукции

Можно поэтому путь интегрирования который при образует контур (рис. 4.1а), разбить на два контура и как это показано на рис. 4.16, причём:

Учитывая ф-лу (4.4), приходим к следующему общему выражению для искомого установившегося напряжения:

Вычисление интеграла по контуру ввиду ограниченного числа полюсов не представляет труда. Вычисление первого интеграла в правой части выражения (4.6) значительно упрощается, если:

— при определении исходить из заданной соответствующим уравнением, а не в виде ряда Фурье;

— рассматривать ист в пределах промежутка

Обращаясь к выражению (4.5) и разбивая путь интегрирования на отрезки равные периоду функции можем написать

Первое слагаемое в правой части выражения (4.7) соответствует преобразованию Лапласа для функции (импульса), совпадающей с или в интервале и равной нулю вне этого интервала. Обозначим это слагаемое так:

Второе слагаемое ввиду периодичности соответствует преобразованию для такого же импульса, запаздывающего относительно первого на время Можно поэтому согласно ф-ле (2.23) приравнять это слагаемое выражению Применяя подобную операцию ко всем членам правой части выражения (4.7) и используя формулу геометрической прогрессии, получим

Подставим полученное выражение в ф-лу (4.6) и используем упрощения, вытекающие из ограничения

рассматриваемого времени промежутком Это упрощение касается первого интеграла в правой части выражения (4.6), в котором при изображение может быть приравнено

В этом нетрудно убедиться путём подстановки развёрнутого выражения (4.9):

При все интегралы в правой части, за исключением первого, обращаются в нуль, так как при условие требует замыкания контура интегрирования в правой полуплоскости, где подинтегральная функция особых точек не имеет.

Таким образом, при приходим к окончательному решению в виде:

Подчёркиваем, что первый интеграл равен сумме вычетов в полюсах обеих функций а второй — сумме вычетов в полюсах одной только функции Поскольку и в реальных случаях обладают небольшим числом особых точек, решение в форме выражения (4.10) позволяет найти установившееся напряжение в промежутке не прибегая к суммированию ряда Фурье. Вне этого промежутка решение может быть продолжено периодически.

Общее решение (4.10) весьма удобно при рассмотрении сравнительно сложных цепей. В простейших случаях установившееся напряжение часто можно определить путём прямого суммирования эффектов, соответствующих действию отдельных пмпульсов последовательности. Так, например, если «импульс»,

соответствующий промежутку рассматриваемой периодической создаёт в этом промежутке на выходе цепи напряжение а при напряжение то искомое установившееся напряжение в момент можно представить в виде следующей суммы:

В этом выражении член есть «остаток» выходного напряжения, обусловленного импульсом эдс, действовавшим 1 промежутке времени — член таким же импульсом, действовавшим в промежутке

Можно поэтому написать

Для определения может быть использован первый интеграл в правой части выражения (4.10).

Дальнейшая конкретизация общего решения (4.10) может быть достигнута при учёте характера функции внутри промежутка Если на отдельных участках указанного промежутка: функция выражается различными уравнениями, то изображение определяемое ф-лой (4.5), приводится к виду:

Здесь и т. д. являются функциями но не содержат множителей вида В выражении (4.11) слагаемые расположены в порядке возрастания

Подставив выражение (4.11) для в первый интеграл выражения (4.10) и применив обычное правило замыкания контура интегрирования [чтобы для промежутка получим (см., рис. 4.1):

При увеличении рассматриваемого промежутка времени т. е. при нужно на участке от

до дополнить правую часть выражения (4.12) слагаемым вида

Пользуясь этим же приёмом для всех участков промежутка получим интересующее нас решение для

Вне этого промежутка, как уже отмечалось, решение может быть продолжено периодически.

Рис. 4.2. Пилообразная волна

Рис. 4.3. Квадратная волна

Число участков, которое приходится выделять в пределах как это видно из приводимых ниже примеров, обычно не превышает двух. Задача особенно упрощается, если в промежутке функция определяется одним уравнением (пример — пилообразная волна, изображённая на рис. 4.2). В подобных случаях выражение (4.12) действительно на протяжении всего периода

Отметим, наконец, что если электродвижущая сила обладает свойством

т. е. если через каждые функция меняет свой знак (пример — квадратная волна, изображённая на рис. 4.3), то достаточно определения только в интервале этого интервала может быть продолжено по закону

Применение развитого здесь метода поясняется ниже (в § 4.4) на некоторых примерах.