§ 5.6. Прохождение нерегулярных сигналов через линейные системы

Основные характеристики нерегулярного сигнала — энергетический спектр и вероятностное распределение — могут претерпеть изменения, зависящие от структуры сигнала и параметров цепи. Относительно просто решается вопрос об энергетическом спектре и функции корреляции для сигнала на выходе цепи. Если коэффициент передачи (безразмерный) цепи, энергетический спектр и функция корреляции входного сигнала, — выходного сигнала, то справедливы соотношения:

В качестве примера применения (5.44) рассмотрим прохождение нерегулярного телеграфного сигнала через простую линейную цепь, содержащую

Имея в виду равнобуквенный пятизначный телеграфный код, сигнал на входе цепи можно представить в виде последовательности интервалов одинаковой длительности в каждом из которых сигнал равен постоянной величине 2 а (амплитуда импульса) или нулю (пауза между двумя импульсами). Допустим, что значения сигнала (2 а или 0) в любом из случайно выбранных интервалов не зависят от значений сигнала в других интервалах.

Число интервалов в 1 секунду равно Поскольку значения в каждом из интервалов равновероятны, среднее число импульсов в 1 секунду равно отсюда среднее значение (постоянная составляющая) последовательности импульсов разно

Исключив эту составляющую, получим последовательность импульсов постоянной амплитуды а и случайного знака (плюс или минус).

Найдём функцию корреляции для подобного сигнала. Нетрудно видеть, что произведение равно если находятся в одном интервале и оно равно если больше, чем т. е. когда находятся

в разных интервалах. Поскольку значения сигнала в последнем случае независимы, усреднение при даёт

Однако ввиду равной вероятности знаков сигнала в каждом из интервалов, очевидно, это вытекает также из факта исключения постоянной составляющей из сигнала

Следовательно, при функция корреляции сигнала равна нулю.

Остаётся найти зависимость при изменении от до

При очевидно,

Обращаясь к общей можем написать

(и

Статистически все интервалы равноправны. Поэтому последнее выражение можно представить в виде:

Выбор первого интервала (от до ), естественно, не ограничивает общности рассмотрения.

Поскольку выражение (5.45) получено из условия, что находятся в одном интервале, очевидно, должно соблюдаться условие или Иными словами, при произведение а при произведение

Следовательно, функция корреляции для сигнала равна: при

при

Подставив выражение (5.46) в найдём энергетический спектр нерегулярного телеграфного сигнала в виде:

Интересно сравнить полученный результат с распределением мощности в спектре периодической квадратной волны (рис. 4.3), при периоде Обозначив амплитуду гармоники через для средней мощности этой гармоники получим:

где

При определении мощности в полосе частот от до со для нерегулярного телеграфного сигнала получим :

Для периодической квадратной волны суммарная мощность в полосе от до определяется суммой

причем соответствует частоте частоте

В системе координат и зависимость (5.49) представится в виде ступенчатой функции, асимптотически приближающейся к величине Графики вычисленные по ф-лам (5.48) и (5.49), изображены на рис. 5.4. Из этого рисунка

видно, что при беспорядочном чередовании знаков импульсов, т. е. в случае нерегулярного телеграфного сигнала, мощность концентрируется в области более низких частот, чем при периодической последовательности импульсов и пауз. В первом случае в полосе концентрируется 0,8 полной мощности сигнала, в то время как периодический сигнал вообще не имеет составляющих в этой полосе частот.

Рис. 5.4. Усреднённая мощность в полосе частот от до для нерегулярного телеграфного сигнала (плавная кривая) и для периодической квадратной волны (ступенчатая кривая)

Обратимся теперь к определению параметров сигнала на выходе цепи. Коэффициент передачи цепи примем в виде:

где - постоянная времени цепи.

В соответствии с ф-лами (5.43) и (5.44) имеем:

и

Выполнив интегрирование, получим:

при

при

В частности, при т. е. при полосе пропускания где основная частота квадратной волны, получим

Рис. 5.5. Функция корреляции для случайного телеграфного сигнала на выходе фильтра нижних частот постоянная времени фильтра, длительность сигнала)

Ход функции при равном и показан на рис. 5.5. Как видим, расчёт полосы пропускания цепи на

третью гармонику квадратной волны обеспечивает достаточно хорошее приближение к